(Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}\) tal que \[\begin{cases}a_{i j}=10, & \text { se } i=j \\\ a_{i j}=0, & \text { se } i \neq j\end{cases}
e B=\left(b_{i j}\right)_{3 \times 3}\] tal que \[\begin{cases}b_{i j}=3, & \text { se } i=j \\\ b_{i j}=0, & \text { se } i \neq j\end{cases}\] o valor de \(\operatorname{det}(A B) é:
(a) 27 \times 10^{3}
(b) 9 \times 10^{3}
(c) 27 \times 10^{2}
(d) 3^{2} \times 10^{2}
(e) 27 \times 10^{4}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes diagonais 3\times3:
A=10I, isto é, a_{ii}=10 e a_{ij}=0 para i\neq j;
B=3I, isto é, b_{ii}=3 e b_{ij}=0 para i\neq j.
Pede-se \det(AB). Vamos usar propriedades de determinante para produto de matrizes e escalares.

Passo 2

Como A=10I, cada autovalor de A vale 10. Logo
\det(A)=10^3=1000.

Passo 3

De modo análogo, B=3I tem cada autovalor igual a 3. Portanto
\det(B)=3^3=27.

Passo 4

Pela propriedade \det(AB)=\det(A)\cdot\det(B), vem
\det(AB)=1000\times27=27000=27\times10^3.

Resposta

(a) 27\times10^3

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