Quantos algarismos são necessários para representar o número 937163832173947 em base binária? E em base 7 ?
Dica: Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com N algarismos?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de algarismos necessários para representar o inteiro
N = 937\,163\,832\,173\,947
em duas bases distintas: base binária ( b=2) e base 7 ( b=7).
O conteúdo principal envolve a noção de dígitos de um inteiro em uma base e o uso de logaritmos para determinar quantos dígitos são precisos.

Passo 2

Em geral, um inteiro N\ge1 escrito na base b requer k algarismos se
b^{k-1}\le N < b^k.
Tomando logaritmo de base b, temos
k-1 \le \log_b N < k \quad\Longrightarrow\quad k = \lfloor \log_b N\rfloor + 1.

Passo 3

Vamos primeiro calcular o número de dígitos em base 2, usando
k_2 = \lfloor \log_2 N\rfloor + 1.
Usando mudança de base por logaritmo decimal:
\log_{2}N = \frac{\log_{10}N}{\log_{10}2}.
Observamos que
N = 9{,}37163832173947\times10^{14} \;\Longrightarrow\; \log_{10}N = \log_{10}(9{,}3716\dots)+14 \approx 0{,}9712 + 14 = 14{,}9712.
E como \log_{10}2\approx0{,}30103, obtemos
\log_{2}N \approx \frac{14{,}9712}{0{,}30103}\approx 49{,}74.
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k_2 = \lfloor 49{,}74\rfloor + 1 = 49 + 1 = 50.

Passo 4

Agora para base 7, usamos
k_7 = \lfloor \log_{7}N\rfloor + 1, \qquad \log_{7}N = \frac{\log_{10}N}{\log_{10}7}.
Sabendo \log_{10}7\approx0{,}84510 e já tendo \log_{10}N\approx14{,}9712,
\log_{7}N \approx \frac{14{,}9712}{0{,}84510}\approx 17{,}72,
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k_7 = \lfloor 17{,}72\rfloor + 1 = 17 + 1 = 18.

Resposta

O número 937\,163\,832\,173\,947 precisa de
50 algarismos em base binária e 18 algarismos em base 7.

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