Quantos algarismos são necessários para representar o número 937163832173947 em base binária? E em base 7 ?
Dica: Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com
algarismos?
Dica: Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de algarismos necessários para representar o inteiro
em duas bases distintas: base binária (
) e base 7 (
).
O conteúdo principal envolve a noção de dígitos de um inteiro em uma base e o uso de logaritmos para determinar quantos dígitos são precisos.
O conteúdo principal envolve a noção de dígitos de um inteiro em uma base e o uso de logaritmos para determinar quantos dígitos são precisos.
Passo 2
Em geral, um inteiro
escrito na base
requer
algarismos se
Tomando logaritmo de base
, temos
Passo 3
Vamos primeiro calcular o número de dígitos em base 2, usando
Usando mudança de base por logaritmo decimal:
Observamos que
E como
, obtemos
Logo
Passo 4
Agora para base 7, usamos
Sabendo
e já tendo
,
logo
Resposta
O número
precisa de
50 algarismos em base binária e 18 algarismos em base 7.
50 algarismos em base binária e 18 algarismos em base 7.