[Manual] Faça três iterações (na mão mas com uma calculadora) do método da bissecção aplicado para f(x)=x^{3}-2 usando a=0 e b=2.

Passo 1

Queremos achar a raiz da função
f(x)=x^{3}-2
no intervalo inicial [a,b]=[0,2] usando o método da bissecção. Como f é contínua e
f(0)= -2,\quad f(2)=6,
temos f(0)\cdot f(2)<0, ou seja, existe pelo menos uma raiz em [0,2]. A cada iteração calculamos o ponto médio c, avaliamos f\text{(c)} e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda.

Passo 2

Primeira iteração: calculamos
c_{1} = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1.
Em seguida,
f(1)=1^{3}-2=-1.
Como f(1)\cdot f(2) =(-1)\cdot 6<0, o sinal muda no intervalo [1,2]. Logo atualizamos
a_{1}=1,\quad b_{1}=2.

Passo 3

Segunda iteração: com o novo intervalo [1,2] temos
c_{2} = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5,
e
f(1{,}5)= (1{,}5)^{3}-2 = 3{,}375 - 2 = 1{,}375.
Aqui f(1)\cdot f(1{,}5)=(-1)\cdot 1{,}375<0, ou seja, o sinal muda em [1,1{,}5]. Atualizamos
a_{2}=1,\quad b_{2}=1{,}5.

Passo 4

Terceira iteração: no intervalo [1,1{,}5] temos
c_{3} = \frac{1 + 1{,}5}{2} = 1{,}25,
e
f(1{,}25) = (1{,}25)^{3}-2 = 1{,}953125 - 2 = -0{,}046875.
Agora f(1{,}25)\cdot f(1{,}5)=(-0{,}046875)\cdot 1{,}375<0, então o sinal muda em [1{,}25,\,1{,}5]. Atualizamos
a_{3}=1{,}25,\quad b_{3}=1{,}5.

Resposta

Após três iterações, as aproximações para a raiz são: c_{1}=1 em [1,2], c_{2}=1{,}5 em [1,1{,}5], c_{3}=1{,}25 em [1{,}25,\,1{,}5].
A estimativa final é c_{3}=1{,}25, com erro no máximo b_{3}-a_{3}=0{,}25.

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