Questão. Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o zero real da equação
usando o Método da Posição Falsa (regula falsi) com critério de parada
ou
.
Dados fornecidos e observações imediatas:
Dados fornecidos e observações imediatas:
- A função que vamos usar é
. - O domínio natural é
(pois aparece ). - Critério de parada: pare quando qualquer um dos dois for satisfeito:
-
, ou -
.
-
- A tarefa é aplicar o Método da Posição Falsa passo a passo até um dos critérios ser satisfeito.
Passo 2
Explicação do Método da Posição Falsa (regra prática e fórmula):
- Partimos de um intervalo
tal que e têm sinais opostos (isso garante existência de uma raiz por Bolzano). - A aproximação por posição falsa é o ponto de interseção da reta que une
e com o eixo . A fórmula é
- Interpretação das variáveis:
-
e são as extremidades do intervalo atual onde . -
são os valores da função nesses pontos. -
é a nova aproximação da raiz.
-
- Regra de atualização do intervalo:
- Se
então a nova iteração usa (troca por ). - Se
então usa-se (troca por ). - Se
exato, parámos (raro na prática).
- Se
- Em cada iteração calculamos
, e testamos os critérios de parada.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial
:
- Avaliamos
em alguns pontos simples:
- Como
e , temos . Portanto podemos escolher como intervalo inicial.
Passo 4
Iteração 1 (aplicando a fórmula):
- Dados iniciais:
, , , . - Aplicando a fórmula da posição falsa:
- Cálculo numérico:
- Agora avaliamos
. Para isso calculamos . Uma forma prática (para fazer na prova sem calculadora pesada) é aproximar por expansão ou comparar com . Fazendo uma conta curta:
- Conclusão da iteração 1:
. Como e têm o mesmo sinal (ambos negativos), atualizamos a extremidade esquerda:
Passo 5
Iteração 2:
- Dados:
com ; com . - Calculamos
- Cálculos auxiliares:
- Avaliação de
:
- Conclusão da iteração 2:
(negativo). Testes de parada: então não paramos. Atualizamos novamente porque e têm o mesmo sinal:
Passo 6
Iteração 3:
- Dados:
com ; com . - Calculamos
- Cálculos auxiliares:
- Avaliação de
:
- Testes de parada:
portanto o critério está satisfeito e podemos parar. Note que , mas só é preciso que um dos critérios seja satisfeito (e já temos ).