\mathbf{2}^{\circ} Questão. Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada \left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq 0.001 ou \left|x_{k}-x_{k-1}\right| \mid \leq 0.001
x \ln x-0,8=0

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o zero real da equação
x\ln x-0,8=0
usando o Método da Posição Falsa (regula falsi) com critério de parada \left|f(x_k)\right|\le 0,001 ou \left|x_k-x_{k-1}\right|\le 0,001.
Dados fornecidos e observações imediatas:
  • A função que vamos usar é f(x)=x\ln x-0,8.
  • O domínio natural é x>0 (pois aparece \ln x).
  • Critério de parada: pare quando qualquer um dos dois for satisfeito:
    • \left|f(x_k)\right|\le 0,001, ou
    • \left|x_k-x_{k-1}\right|\le 0,001.
  • A tarefa é aplicar o Método da Posição Falsa passo a passo até um dos critérios ser satisfeito.

Passo 2

Explicação do Método da Posição Falsa (regra prática e fórmula):
  • Partimos de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (isso garante existência de uma raiz por Bolzano).
  • A aproximação por posição falsa é o ponto de interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula é
x_r \;=\; b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,}.
  • Interpretação das variáveis:
    • a e b são as extremidades do intervalo atual onde f(a)\cdot f(b)<0.
    • f(a),f(b) são os valores da função nesses pontos.
    • x_r é a nova aproximação da raiz.
  • Regra de atualização do intervalo:
    • Se f(a)\cdot f(x_r)<0 então a nova iteração usa [a,x_r] (troca b por x_r).
    • Se f(x_r)\cdot f(b)<0 então usa-se [x_r,b] (troca a por x_r).
    • Se f(x_r)=0 exato, parámos (raro na prática).
  • Em cada iteração calculamos x_r, f(x_r) e testamos os critérios de parada.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial [a,b]:
  • Avaliamos f em alguns pontos simples: f(1)=1\cdot\ln 1 -0,8 = 0 -0,8 = -0,8,
f(2)=2\cdot\ln 2 -0,8 \approx 2\cdot 0,693147 -0,8 \approx 1,386294-0,8 \approx 0,586294.
  • Como f(1)=-0,8<0 e f(2)\approx 0,586294>0, temos f(1)\cdot f(2)<0. Portanto podemos escolher [a,b]=[1,2] como intervalo inicial.

Passo 4

Iteração 1 (aplicando a fórmula):
  • Dados iniciais: a_0=1, b_0=2, f(a_0)=-0,8, f(b_0)\approx 0,586294.
  • Aplicando a fórmula da posição falsa:
x_1 = b_0 - f(b_0)\,\frac{b_0-a_0}{f(b_0)-f(a_0)} = 2 - 0,586294\cdot\frac{2-1}{0,586294-(-0,8)}.
  • Cálculo numérico: 2-1=1,\qquad f(b_0)-f(a_0)=0,586294+0,8=1,386294,
\frac{0,586294\cdot 1}{1,386294}\approx 0,422974,
x_1 \approx 2-0,422974 = 1,577026.
  • Agora avaliamos f(x_1). Para isso calculamos \ln(1,577026). Uma forma prática (para fazer na prova sem calculadora pesada) é aproximar \ln por expansão ou comparar com \ln(1,6). Fazendo uma conta curta: \ln(1,577026)\approx 0,45554079\quad\text{(cálculo por série/linearização)},áéçã
f(1,577026)=1,577026\cdot 0,45554079 -0,8 \approx 0,718519-0,8 \approx -0,081481.
  • Conclusão da iteração 1: f(x_1)\approx -0,081481<0. Como f(x_1) e f(a_0) têm o mesmo sinal (ambos negativos), atualizamos a extremidade esquerda: a_1 = x_1 \approx 1,577026,\qquad b_1 = 2.

Passo 5

Iteração 2:
  • Dados: a_1\approx 1,577026 com f(a_1)\approx -0,081481; b_1=2 com f(b_1)\approx 0,586294.
  • Calculamos
x_2 = 2 - 0,586294\cdot\frac{2-1,577026}{0,586294-(-0,081481)}.
  • Cálculos auxiliares: 2-1,577026 = 0,422974,
0,586294-(-0,081481)=0,667775,
0,586294\cdot 0,422974 \approx 0,247987,
\frac{0,247987}{0,667775}\approx 0,371487,
x_2 \approx 2-0,371487 = 1,628513.
  • Avaliação de f(x_2): \ln(1,628513)\approx 0,487667355\quad\text{(aproximação por linearização)},çãçã
f(1,628513)=1,628513\cdot 0,487667355 -0,8 \approx 0,794173-0,8 \approx -0,005827.
  • Conclusão da iteração 2: f(x_2)\approx -0,005827 (negativo). Testes de parada: |f(x_2)|\approx 0,005827>0,001,\qquad |x_2-x_1|\approx 0,051487>0,001,então não paramos. Atualizamos a novamente porque f(x_2) e f(a_1) têm o mesmo sinal: a_2 = x_2 \approx 1,628513,\qquad b_2 = 2.

Passo 6

Iteração 3:
  • Dados: a_2\approx 1,628513 com f(a_2)\approx -0,005827; b_2=2 com f(b_2)\approx 0,586294.
  • Calculamos
x_3 = 2 - 0,586294\cdot\frac{2-1,628513}{0,586294-(-0,005827)}.
  • Cálculos auxiliares: 2-1,628513=0,371487,
0,586294-(-0,005827)=0,592121,
0,586294\cdot 0,371487 \approx 0,217802,
\frac{0,217802}{0,592121}\approx 0,367607,
x_3 \approx 2-0,367607 = 1,632393.
  • Avaliação de f(x_3): \ln(1,632393)\approx 0,490047037\quad\text{(aproximação por série/linearização)},çãéçã
f(1,632393)=1,632393\cdot 0,490047037 -0,8 \approx 0,799949 -0,8 \approx -0,000051.
  • Testes de parada: |f(x_3)|\approx 0,000051 \le 0,001,portanto o critério \left|f(x_k)\right|\le 0,001 está satisfeito e podemos parar. Note que |x_3-x_2|\approx 0,00388>0,001, mas só é preciso que um dos critérios seja satisfeito (e já temos |f(x_3)|\le 0,001).

Resposta

\boxed{x\approx 1,632393}

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