( \mathbf{3}, 0 pontos) Usando a regra de Simpson repetida com n=10 subintervalos, calcule uma aproximação para a integral
\int_{1}^{3} e^{x^{2}} d x
Estime o erro máximo da regra de Simpson repetida usando a fórmula do erro de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{1}^{3}e^{x^{2}}\,dx
usando a regra composta de Simpson com n=10 subintervalos, e a estimação do erro máximo via a fórmula do erro de Simpson. Para isso precisamos da fórmula de Simpson composta e de f^{(4)}(x) para obter o limite superior do erro.

Passo 2

Na regra composta de Simpson com n par, definimos
h = \frac{b - a}{n} = \frac{3-1}{10} = 0.2, \quad x_i = a + i\,h = 1 + 0.2\,i,
e a aproximação é
S_{10} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{9}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{8}f(x_{i}) +f(x_{10})\Bigr].

Passo 3

Calculamos f(x_i)=e^{x_i^2} em cada nó:
x_0=1.0, f(x_0)=e^{1}=2.7183;
x_1=1.2, f(x_1)=e^{1.44}=4.2207;
x_2=1.4, f(x_2)=e^{1.96}=7.1010;
x_3=1.6, f(x_3)=e^{2.56}=12.9300;
x_4=1.8, f(x_4)=e^{3.24}=25.5600;
x_5=2.0, f(x_5)=e^{4.00}=54.5982;
x_6=2.2, f(x_6)=e^{4.84}=126.6000;
x_7=2.4, f(x_7)=e^{5.76}=317.5000;
x_8=2.6, f(x_8)=e^{6.76}=862.7000;
x_9=2.8, f(x_9)=e^{7.84}=2539.0000;
x_{10}=3.0, f(x_{10})=e^{9}=8103.0840.

Passo 4

Agora somamos:
\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_i) =4.2207+12.93+54.5982+317.5+2539.0=2928.2489,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f(x_i) =7.1010+25.56+126.6+862.7=1021.9610.
Logo
S_{10} = \frac{0.2}{3}\Bigl(2.7183 + 8103.0840 +4\cdot2928.2489 + 2\cdot1021.9610\Bigr) \approx 1457.48.

Passo 5

Para o erro, a fórmula do erro de Simpson composta é
\bigl|E_{S}\bigr| \le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[1,3]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Como f(x)=e^{x^{2}}, calcula-se
f^{(4)}(x) = e^{x^{2}}\bigl(12 +48x^{2}+16x^{4}\bigr).
Em [1,3] esse valor é máximo em x=3:
f^{(4)}(3) = e^{9}\bigl(12+48\cdot9+16\cdot81\bigr) = e^{9}\times1740.

Passo 6

Substituindo em E_{S}:
\bigl|E_{S}\bigr| \le \frac{2}{180}(0.2)^{4}\times1740\,e^{9} = \frac{2}{180}\times0.0016\times1740\times8103.084 \approx 2.51\times10^{2}.

Resposta

A aproximação pela regra composta de Simpson com n=10 é
\int_{1}^{3}e^{x^{2}}\,dx\approx 1457.48
e o erro máximo estimado é
\bigl|E_{S}\bigr|\le 2.51\times10^{2}.

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