a) ( 1,5 pontos) Determine as matrizes L, U e P da fatoração LU com pivoteamento parcial de A.
b) ( 1,5 ponto) Utilize as matrizes L, U e P para determinar a solução do sistema A x=b, resolvendo os dois sistemas triangulares obtidos.
pede (a) a fatoração PA = LU com pivoteamento parcial, ou seja, determinar P, L e U; e (b) usar essa fatoração para resolver Ax=b. Vamos fazer pivoteamento nas colunas, registrar as multiplicações em L, montar U e P, e depois resolver dois sistemas triangulares.
Passo 2
Primeiro passo de pivoteamento na coluna 1:
Entradas |a_{11}|=1, |a_{21}|=1, |a_{31}|=3. O maior é na linha 3, trocamos linha 1 com linha 3.
Segundo passo de pivoteamento na coluna 2 (sobre as linhas 2 e 3 de A^{(1)}):
Entradas \tfrac23 e \tfrac43; o maior em valor absoluto é \tfrac43 na linha 3. Trocamos linha 2 com linha 3 comP_2 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.
Multiplicador para zerar abaixo de a^{(1)}_{22}=\tfrac43:\ell_{32} = \frac{\tfrac23}{\tfrac43} = \tfrac12.
P = P_2\,P_1 = \begin{pmatrix}0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}, pois primeiro trocou 1↔3, depois 2↔3.
L armazena os multiplicadores na mesma ordem dos passos, com 1 na diagonal:L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac13 & 1 & 0\\\ \tfrac13 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.