(3,0 pontos) Considere a seguinte matriz A e o vetor b :
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 4 \\\\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0 \\\\ 20 \\\\ -20 \end{array}\right)
a) ( 1,5 pontos) Determine as matrizes L, U e P da fatoração LU com pivoteamento parcial de A.
b) ( 1,5 ponto) Utilize as matrizes L, U e P para determinar a solução do sistema A x=b, resolvendo os dois sistemas triangulares obtidos.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 0 & 4\\\\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}0\\\ 20\\\ -20\end{pmatrix},
pede (a) a fatoração PA = LU com pivoteamento parcial, ou seja, determinar P, L e U; e (b) usar essa fatoração para resolver Ax=b. Vamos fazer pivoteamento nas colunas, registrar as multiplicações em L, montar U e P, e depois resolver dois sistemas triangulares.

Passo 2

Primeiro passo de pivoteamento na coluna 1:
  • Entradas |a_{11}|=1, |a_{21}|=1, |a_{31}|=3. O maior é na linha 3, trocamos linha 1 com linha 3.
  • Matriz de permutação parcial P_1 (troca 1↔3): P_1 = \begin{pmatrix} 0&0&1\\\\ 0&1&0\\\\ 1&0&0 \end{pmatrix}, \quad P_1A = \begin{pmatrix} 3&2&2\\\\ -1&0&4\\\\ 1&2&0 \end{pmatrix}.
  • Multiplicadores para zerar abaixo de a_{11}=3: \ell_{21} = \frac{-1}{3} = -\tfrac13, \quad \ell_{31} = \frac{1}{3} = \tfrac13.
  • Eliminando, obtemos A^{(1)} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\\\ 0 & \tfrac23 & \tfrac{14}{3}\\\\ 0 & \tfrac{4}{3} & -\tfrac23 \end{pmatrix}.

Passo 3

Segundo passo de pivoteamento na coluna 2 (sobre as linhas 2 e 3 de A^{(1)}):
  • Entradas \tfrac23 e \tfrac43; o maior em valor absoluto é \tfrac43 na linha 3. Trocamos linha 2 com linha 3 com P_2 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&0&1\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.
  • Multiplicador para zerar abaixo de a^{(1)}_{22}=\tfrac43: \ell_{32} = \frac{\tfrac23}{\tfrac43} = \tfrac12.
  • Eliminando, fica U = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\\\ 0 & \tfrac43 & -\tfrac23\\\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Monta-se a permutação total e L:
  • P = P_2\,P_1 = \begin{pmatrix}0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}, pois primeiro trocou 1↔3, depois 2↔3.
  • L armazena os multiplicadores na mesma ordem dos passos, com 1 na diagonal: L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac13 & 1 & 0\\\ \tfrac13 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.
Já temos então
PA = LU, \quad P=\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix}, \; L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ -{\tfrac13}&1&0\{\tfrac13}&{\tfrac12}&1\end{pmatrix}, \; U=\begin{pmatrix}3&2&2\\\ 0&{\tfrac43}&-{\tfrac23}\\\ 0&0&5\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver Ax=b\) via \(LU\): 1. Calcular \(\;Pb\): \[Pb = \begin{pmatrix}0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 20\\\ -20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-20\\\ 0\\\ 20\end{pmatrix}.
  1. Resolver Ly = Pb (substituição para frente): \begin{cases} y_1 = -20,\\\\ -\tfrac13\,y_1 + y_2 = 0 \;\Longrightarrow\; y_2 = -\tfrac{20}{3},\\\ \tfrac13\,y_1 + \tfrac12\,y_2 + y_3 = 20 \;\Longrightarrow\; y_3 = 30. \end{cases}
  2. Resolver (Ux = y] (substituição para trás):
    \begin{cases} 5\,x_3 = y_3 = 30 \;\Longrightarrow\; x_3 = 6,\\\ \tfrac43\,x_2 - \tfrac23\,x_3 = -\tfrac{20}{3} \;\Longrightarrow\; x_2 = -2,\\\\ 3\,x_1 + 2\,x_2 + 2\,x_3 = -20 \;\Longrightarrow\; x_1 = -\tfrac{28}{3}. \end{cases}

Resposta

(a)
P=\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ -{\tfrac13}&1&0\{\tfrac13}&{\tfrac12}&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}3&2&2\\\ 0&{\tfrac43}&-{\tfrac23}\\\ 0&0&5\end{pmatrix}.
(b)
x = \begin{pmatrix}-\tfrac{28}{3}\\\ -2\\\ 6\end{pmatrix}.

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