(2,0 pontos) Considere a função f(x)=\ln (x) para a qual temos
x 1 2 3 4
f(x) 0 0,6931 1,0986 1,3863
Use a fórmula de Lagrange para obter um polinômio de grau 2 que aproxime f e estime \ln (3.7).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função \ln(x) por um polinômio de grau 2 usando a fórmula de Lagrange e, em seguida, estimar \ln(3{,}7). Como queremos uma boa aproximação em x=3{,}7, vamos interpolar em três pontos mais próximos desse valor, usando teoria de interpolação polinomial de Lagrange: escolhemos os nós x_0=2, x_1=3 e x_2=4 com valores
f(2)=0{,}6931,\quad f(3)=1{,}0986,\quad f(4)=1{,}3863.

Passo 2

Construímos o polinômio de Lagrange de grau 2
p_2(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_i)\,L_i(x),
onde cada base L_i(x) é
L_0(x)=\frac{(x-3)(x-4)}{(2-3)(2-4)},\quad L_1(x)=\frac{(x-2)(x-4)}{(3-2)(3-4)},\quad L_2(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(4-2)(4-3)}.
Substituindo f(x_i) e simplificando, obtemos a forma padrão
p_2(x)=-0{,}0589\,x^2+0{,}7000\,x-0{,}4713.

Passo 3

Agora estimamos \ln(3{,}7) avaliando p_2 em x=3{,}7. Calculando cada termo, chega-se a
p_2(3{,}7)\approx1{,}3135.

Resposta

O polinômio de grau 2 obtido é
p_2(x)=-0{,}0589\,x^2+0{,}7000\,x-0{,}4713
e a estimativa para \ln(3{,}7) é
\ln(3{,}7)\approx p_2(3{,}7)=1{,}3135.

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