Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{r}x+2 y-z=3 \\\\ 2 x+3 y+z=7 \\\\ 3 x+y+2 z=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+2y - z = 3,\\\\ 2x+3y + z = 7,\\\\ 3x+ y +2z = 8 \end{cases}
pelo método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para triangularizá-la.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos a primeira coluna abaixo do pivô a_{11}=1 usando R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-3R_1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 2 & 3 & 1 & 7\\\\ 3 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\,R_2-2R_1,\;R_3-3R_1\,}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 0 & -1 & 3 & 1\\\\ 0 & -5 & 5 & -1 \end{array}\right]

Passo 3

Agora usamos o pivô a_{22}=-1 para zerar o elemento abaixo dele em R_3:
R_3\leftarrow R_3-5R_2. Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 0 & -1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & -10 & -6 \end{array}\right].
Em notação de equações, a última linha equivale a -10z=-6.

Passo 4

Fazemos a retro-substituição:
  1. Da terceira equação -10z=-6 vem
z = \frac{-6}{-10} = \frac{3}{5}.
  1. Substituindo em 0\cdot x -y +3z =1 (segunda linha):
-y +3\cdot\frac{3}{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad -y + \frac{9}{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{9}{5}-1 = \frac{4}{5}.
  1. Substituindo em x+2y -z=3 (primeira linha):
x +2\cdot\frac{4}{5} - \frac{3}{5} =3 \quad\Longrightarrow\quad x + \frac{8}{5}-\frac{3}{5}=3 \quad\Longrightarrow\quad x +1 =3 \quad\Longrightarrow\quad x =2.

Resposta

x=2, y=\tfrac{4}{5}, z=\tfrac{3}{5}.

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