Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{r}2 x-y+3 z=9 \\\\ 4 x+2 y-z=1 \\\\ -2 x+5 y+2 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x - y + 3z = 9,\\\\ 4x + 2y - z = 1,\\\\ -2x + 5y + 2z = 3 \end{cases}
usando o método da eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar o sistema, seguido de substituição retroativa.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & \vline & 9\\\\ 4 & 2 & -1& \vline & 1\\\\ -2& 5 & 2 & \vline & 3 \end{pmatrix}
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + R_1 obtemos
\begin{cases} 4y - 7z = -17,\\\\ 4y + 5z = 12. \end{cases}

Passo 3

Eliminamos y dessas duas equações subtraindo a primeira da segunda:
(4y + 5z) - (4y - 7z) = 12 - (-17) \quad\Longrightarrow\quad 12z = 29 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{29}{12}.

Passo 4

Substituímos z = \tfrac{29}{12} em 4y - 7z = -17:
4y - 7\bigl(\tfrac{29}{12}\bigr) = -17 \quad\Longrightarrow\quad 4y = -17 + \frac{203}{12} = \frac{-204 + 203}{12} = -\tfrac{1}{12} \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{48}.

Passo 5

Finalmente, substituímos y e z na primeira equação 2x - y + 3z = 9:
2x - \Bigl(-\tfrac{1}{48}\Bigr) + 3\Bigl(\tfrac{29}{12}\Bigr) = 9 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 9 - \tfrac{1}{48} - \tfrac{87}{12} = \frac{432 - 1 - 348}{48} = \frac{83}{48} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{83}{96}.

Resposta

x = \frac{83}{96},\quad y = -\frac{1}{48},\quad z = \frac{29}{12}.

Exercícios relacionados