Questão: Dada a função
, defina a sua derivada. Em seguida:
a) Dê duas interpretações para a função derivada (significado físico e geométrico).
b) Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função
.
a) Dê duas interpretações para a função derivada (significado físico e geométrico).
b) Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede a definição de derivada de uma função
, duas interpretações (geométrica e física) e o cálculo de
para
usando a definição por limite. Vamos usar conceitos de limite de quociente de diferença, interpretação de taxa de variação e técnica de racionalização.
Passo 2
Definimos a derivada de
em um ponto
como o limite do quociente de diferença:
desde que esse limite exista. Essa é a definição formal da derivada.
Passo 3
Interpretação geométrica: a derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Em outras palavras, mede o coeficiente angular dessa reta.
Passo 4
Interpretação física: se
representa a posição de um objeto em função do tempo
, então
é a velocidade instantânea, ou seja, a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante.
Passo 5
Para
, aplicamos a definição:
Passo 6
Racionalizando o numerador, multiplicamos por
:
Fazendo
, obtemos
Resposta
a) Geométrica: inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto considerado.
Física: taxa instantânea de variação (por exemplo, velocidade instantânea se for posição).
Física: taxa instantânea de variação (por exemplo, velocidade instantânea se
b)