\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão: Dada a função y=f(x), defina a sua derivada. Em seguida:
a) Dê duas interpretações para a função derivada (significado físico e geométrico).
b) Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede a definição de derivada de uma função y=f(x), duas interpretações (geométrica e física) e o cálculo de f'(x) para f(x)=\sqrt{x} usando a definição por limite. Vamos usar conceitos de limite de quociente de diferença, interpretação de taxa de variação e técnica de racionalização.

Passo 2

Definimos a derivada de f em um ponto x como o limite do quociente de diferença:
f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista. Essa é a definição formal da derivada.

Passo 3

Interpretação geométrica: a derivada \,f'(x)\, representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto \bigl(x,f(x)\bigr). Em outras palavras, mede o coeficiente angular dessa reta.

Passo 4

Interpretação física: se f(x) representa a posição de um objeto em função do tempo x, então f'(x) é a velocidade instantânea, ou seja, a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante.

Passo 5

Para f(x)=\sqrt{x}, aplicamos a definição:
f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.

Passo 6

Racionalizando o numerador, multiplicamos por \sqrt{x+h}+\sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \;\cdot\;\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{x+h - x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Fazendo h\to0, obtemos
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

a) Geométrica: inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto considerado.
Física: taxa instantânea de variação (por exemplo, velocidade instantânea se f for posição).
b)
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

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