2^{\mathbf{a}} Questão: Encontre a derivada das seguintes funções:
y=\sqrt{\frac{1-2 x}{3 x+2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sqrt{\frac{1 - 2x}{3x + 2}}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia para a raiz e a regra do quociente para o interior.

Passo 2

Primeiro escrevemos
y = \Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{\tfrac12}
e aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac12\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada do quociente pelo quociente:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr) = \frac{(-2)\,(3x + 2) - (1 - 2x)\,(3)}{(3x + 2)^2} = \frac{-6x - 4 - 3 + 6x}{(3x + 2)^2} = \frac{-7}{(3x + 2)^2}.

Passo 4

Substituindo de volta,
\frac{dy}{dx} = \frac12\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12} \cdot \frac{-7}{(3x + 2)^2} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^2}\,\Bigl(\frac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12}.
Como
\Bigl(\tfrac{1 - 2x}{3x + 2}\Bigr)^{-\tfrac12} = \sqrt{\frac{3x + 2}{1 - 2x}},
podemos simplificar:
\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2}\, \frac{\sqrt{3x + 2}}{(3x + 2)^2\,\sqrt{1 - 2x}} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^{3/2}\,\sqrt{1 - 2x}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2\,(3x + 2)^{3/2}\,\sqrt{1 - 2x}}.

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