2^{\mathbf{a}} Questão: Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(x^{3}+2 x-7\right)\left(3+x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{3}+2x-7\bigr)\bigl(3+x-x^{2}\bigr).
O conteúdo principal é a regra do produto e as regras básicas de derivação de polinômios.

Passo 2

Vamos identificar
u(x)=x^{3}+2x-7 \quad\text{e}\quad v(x)=3+x-x^{2},
de modo que
f(x)=u(x)\,v(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}+2x-7)=3x^{2}+2,
v'(x)=\frac{d}{dx}(3+x-x^{2})=1-2x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, obtemos
f'(x)=(3x^{2}+2)\,(3+x-x^{2})+(x^{3}+2x-7)\,(1-2x).

Passo 5

Agora, vamos expandir e coletar termos semelhantes.
Primeiro termo:
(3x^{2}+2)(3+x-x^{2}) =-3x^{4}+3x^{3}+7x^{2}+2x+6.
Segundo termo:
(x^{3}+2x-7)(1-2x) =-2x^{4}+x^{3}-4x^{2}+16x-7.
Somando-os:
f'(x)=(-3x^{4}-2x^{4})+(3x^{3}+x^{3})+(7x^{2}-4x^{2})+(2x+16x)+(6-7),
f'(x)=-5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+18x-1.

Resposta

f'(x)=-5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+18x-1.

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