2^{\mathbf{a}} Questão: Encontre a derivada das seguintes funções:
g(t)=\frac{2 t^{2}-5}{1-3 t}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t)=\frac{2t^{2}-5}{1-3t}
e pede sua derivada. O conteúdo usado será a regra do quociente, que permite derivar uma razão f(t)/h(t) conhecendo f'(t) e h'(t).

Passo 2

Seja
f(t)=2t^{2}-5, \qquad h(t)=1-3t.
Pela regra do quociente,
\biggl(\frac{f}{h}\biggr)'(t) =\frac{h(t)\,f'(t)-f(t)\,h'(t)}{\bigl(h(t)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f e h:
f'(t)=\frac{d}{dt}(2t^{2}-5)=4t, \qquad h'(t)=\frac{d}{dt}(1-3t)=-3.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
g'(t) =\frac{(1-3t)\cdot(4t)\;-\;(2t^{2}-5)\cdot(-3)}{(1-3t)^{2}}.

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
(1-3t)\cdot4t =4t-12t^{2}, \qquad -(2t^{2}-5)\cdot(-3)=+6t^{2}-15,
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4t-12t^{2}+6t^{2}-15 = -6t^{2}+4t-15.
Portanto,
g'(t)=\frac{-6t^{2}+4t-15}{(1-3t)^{2}}.

Resposta

g'(t)=\frac{-6t^{2}+4t-15}{(1-3t)^{2}}.

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