\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão: Uma empresa de produtos eletrônicos estima que, se contratar x mil empregados, o lucro será \mathrm{L}(\mathrm{x}) milhões de reais, em que L(x)=\ln (4 x+1)+3 x-x^{2}. Estime a variação do lucro se forem contratados 1.750 empregados?

Passo 1

O enunciado nos dá a função do lucro, em milhões de reais, em função de x (mil empregados):
L(x)=\ln(4x+1)+3x - x^2.
Pede-se estimar a variação do lucro ao contratar 1{,}750 empregados, ou seja, \Delta x = 1{,}75 (em milhares). Vamos usar a diferencial dL\approx L'(x)\,dx, tomando como ponto de partida x=0 (nenhum empregado).

Passo 2

Calcular a derivada L'(x):
L'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(4x+1)\bigr]+\frac{d}{dx}[3x]-\frac{d}{dx}[x^2] =\frac{4}{4x+1}+3-2x.

Passo 3

Escrever a diferencial de L:
dL \approx L'(x)\,dx.
Para estimar a variação ao contratar 1{,}75 mil empregados partindo de x=0, usamos x=0 e dx=1{,}75.

Passo 4

Avaliar L'(0) e calcular dL:
L'(0)=\frac{4}{4\cdot0+1}+3-2\cdot0=4+3=7,
dL \approx 7 \times 1{,}75 = 12{,}25.

Resposta

A variação aproximada do lucro é de 12{,}25 milhões de reais.

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