4^{\mathrm{a}} Questão: Certa máquina industrial sofre uma depreciação tal que o valor da máquina após t anos é dado por Q(t)=20.000 e^{-0,4 t} reais. Qual a taxa de variação do valor da máquina após 5 anos?

Passo 1

O enunciado dá o valor da máquina em função do tempo
Q(t)=20000\,e^{-0,4\,t}
reais. O conteúdo é derivada de função exponencial; queremos a taxa de variação instantânea no ponto t=5 anos, isto é Q'(5).

Passo 2

Para derivar uma função da forma C e^{a t}, usamos a regra
\frac{d}{dt}e^{a t}=a\,e^{a t}.
Aqui temos C=20000 e a=-0,4.

Passo 3

Aplicando a regra da derivada em
Q(t)=20000\,e^{-0,4t}
obtemos
Q'(t)=20000\cdot(-0,4)\,e^{-0,4t}=-8000\,e^{-0,4t}.
Logo, em t=5 anos,
Q'(5)=-8000\,e^{-0,4\cdot5}=-8000\,e^{-2}.

Passo 4

Para interpretar numericamente, note que e^{-2}\approx0,1353. Assim,
Q'(5)\approx-8000\times0,1353\approx-1082,6.
O sinal negativo indica que o valor da máquina está decrescendo a aproximadamente \,1082,6 reais por ano no instante de 5 anos.

Resposta

Q'(5)=-8000\,e^{-2}\approx-1082{,}6\text{ reais/ano}.

Exercícios relacionados