Use a fórmula da derivada para calcular \oint_{|z|=3} \frac{\cos \left(z^{2}+3 z-1\right)}{(2 z+3)^{2}} d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de contorno
\oint_{|z|=3} \frac{\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)}{(2z+3)^{2}}\,dz
usando a fórmula de Cauchy para derivadas. Vamos precisar identificar o único polo dentro de |z|=3 e aplicar
\oint_{|z-a|=R}\frac{\Phi(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz = \frac{2\pi i}{n!}\,\Phi^{(n)}(a).

Passo 2

Encontramos o polo quando 2z+3=0, ou seja
z_{0}=-\tfrac{3}{2},
que fica dentro do círculo |z|=3. É um polo de ordem 2.

Passo 3

Reescrevemos o integrando isolando o fator (z-z_{0})^{2}:
(2z+3)^{2}=4\,(z+{\tfrac32})^{2}=4\,(z-z_{0})^{2},
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\frac{\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)}{(2z+3)^{2}} =\frac{1}{4}\,\frac{\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)}{(z-z_{0})^{2}} \equiv \frac{\Phi(z)}{(z-z_{0})^{2}},
com \Phi(z)=\tfrac{1}{4}\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr), que é analítica em z_{0}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Cauchy para n=1:
\oint_{|z-z_{0}|=3}\frac{\Phi(z)}{(z-z_{0})^{2}}\,dz =2\pi i\,\Phi'(z_{0}).
Como o contorno |z|=3 contém z_{0}, vale
\oint_{|z|=3}\frac{\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)}{(2z+3)^{2}}\,dz =2\pi i\,\Phi'(z_{0}).

Passo 5

Calculamos \Phi'(z):
\Phi'(z) =\frac{1}{4}\,\bigl[-\sin\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)\bigr]\cdot(2z+3).
Em z_{0}=-\tfrac{3}{2} temos 2z_{0}+3=0, portanto
\Phi'(z_{0})= \frac{1}{4}\bigl[-\sin(\,\ldots\,)\bigr]\cdot 0 = 0.

Resposta

\oint_{|z|=3} \frac{\cos\bigl(z^{2}+3z-1\bigr)}{(2z+3)^{2}}\,dz = 0.

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