3^{\text {a }} Questão: Encontre a solução do seguinte sistema de equações homogêneas
\left\{\begin{array}{r} x-3 y+z=0 \\ 2 x-6 y+2 z=0 \\ 3 x-9 y+3 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas:
\begin{cases} x - 3y + z = 0,\\\\ 2x - 6y + 2z = 0,\\\\ 3x - 9y + 3z = 0.
O conteúdo envolvido é sistemas lineares e espaços nulos de matrizes; precisaremos reconhecer dependências entre as equações e parametrizar as incógnitas livres.

Passo 2

Note que a segunda equação é o dobro da primeira e a terceira é o triplo da primeira. Logo, todas se reduzem a
x - 3y + z = 0,
isto é, há apenas uma equação independente e o posto da matriz de coeficientes é 1.

Passo 3

Da única equação independente tiramos
x = 3y - z.
Isso nos dá uma expressão de x em função de y e z.

Passo 4

Como temos duas incógnitas livres, atribuímos parâmetros
y = s,\quad z = t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Substituindo em x=3y-z, obtemos
x = 3s - t.
Portanto o vetor solução pode ser escrito como combinação linear:
(x,y,z) = s\,(3,1,0) + t\,(-1,0,1).

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=3s-t,\;y=s,\;z=t,\;s,t\in\mathbb{R}\} =\mathrm{Span}\{(3,1,0),\,(-1,0,1)\}.

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