Questão: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
a)
.
b)
.
c)
.
d) Nunca é verdade que
.
a)
b)
c)
d) Nunca é verdade que
Passo 1
O enunciado envolve quatro afirmações sobre matrizes quadradas
e
de ordem
. O conteúdo principal é a álgebra de matrizes: produto, comutatividade e inversão. Vamos analisar cada item usando propriedades como a não comutatividade geral de matrizes, expansão de quadrados e definição de inversa.
Passo 2
Para a afirmação
observe que
enquanto
Em geral
se
. Por exemplo, sejam
Calcula-se
logo
. Além disso
mas
Portanto, em geral
.
Conclusão: a) é falsa.]
Conclusão: a) é falsa.]
Passo 3
Para
expanda ambos os lados:
Reordenando os termos em cada expressão, vemos que são idênticas, pois a soma
é a mesma nos dois casos.
Conclusão: b) é verdadeira.
Conclusão: b) é verdadeira.
Passo 4
Para
supondo
e
invertíveis (já que aparecem
e
), temos
Conclusão: c) é verdadeira.
Passo 5
A afirmação “Nunca é verdade que
” diz que não existe par de matrizes que comutem. Mas isso é falso: por exemplo, tomando
(matriz identidade) e qualquer
, tem-se
Logo há muitos casos em que
.
Conclusão: d) é falsa.
Conclusão: d) é falsa.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa