\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
a) (A B)^{2}=A^{2} B^{2}.
b) (A-B)^{2}=(B-A)^{2}.
c) \left(A B^{-1}\right)\left(B A^{-1}\right)=I_{n}.
d) Nunca é verdade que A B=B A.

Passo 1

O enunciado envolve quatro afirmações sobre matrizes quadradas A e B de ordem n. O conteúdo principal é a álgebra de matrizes: produto, comutatividade e inversão. Vamos analisar cada item usando propriedades como a não comutatividade geral de matrizes, expansão de quadrados e definição de inversa.

Passo 2

Para a afirmação
(AB)^{2} = A^{2}B^{2},
observe que
(AB)^{2} = ABAB
enquanto
A^{2}B^{2} = (AA)(BB) = AABB.
Em geral ABAB\neq AABB se AB\neq BA. Por exemplo, sejam
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calcula-se
AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix},
logo AB\neq BA. Além disso
(AB)^{2} = AB\,AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix},
mas
A^{2} = A\,A = 0,\quad B^{2} = B\,B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^{2}B^{2}=0.
Portanto, em geral (AB)^{2}\neq A^{2}B^{2}.
Conclusão: a) é falsa.]

Passo 3

Para
(A - B)^{2} = (B - A)^{2},
expanda ambos os lados:
(A - B)^{2} = A^{2} - AB - BA + B^{2},
(B - A)^{2} = B^{2} - BA - AB + A^{2}.
Reordenando os termos em cada expressão, vemos que são idênticas, pois a soma -AB - BA é a mesma nos dois casos.
Conclusão: b) é verdadeira.

Passo 4

Para
\bigl(A B^{-1}\bigr)\bigl(B A^{-1}\bigr)=I_{n},
supondo A e B invertíveis (já que aparecem B^{-1} e A^{-1}), temos
A B^{-1}\,B A^{-1} = A\,(B^{-1}B)\,A^{-1} = A\,I_{n}\,A^{-1} = A\,A^{-1} = I_{n}.
Conclusão: c) é verdadeira.

Passo 5

A afirmação “Nunca é verdade que AB = BA” diz que não existe par de matrizes que comutem. Mas isso é falso: por exemplo, tomando A = I_{n} (matriz identidade) e qualquer B, tem-se
I_{n}B = B = BI_{n}.
Logo há muitos casos em que AB=BA.
Conclusão: d) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa

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