(4 ptos) Para a produção de quatro tipos de televisores precisa-se quatro tipos de materiais. As quantidades destes recursos são:
Mão de obra Metais Plásticos Componentes
Tipo 1 3 20 10 10
Tipo 2 4 25 15 8
Tipo 3 7 40 20 10
Tipo 4 20 50 22 15
Suponhamos que por dia precisa-se: 504 h (horas) de mão de obra, 1970 kg de metais, 970 kg de plástico e 601 componentes. Calcular a quantidade de televisores de cada tipo. Utilize dois métodos diretos e um método iterativo.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, onde cada equação corresponde ao consumo diário de um recurso:
\begin{cases} 3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}+20x_{4}=504,\\\\ 20x_{1}+25x_{2}+40x_{3}+50x_{4}=1970,\\\\ 10x_{1}+15x_{2}+20x_{3}+22x_{4}=970,\\\\ 10x_{1}+8x_{2}+10x_{3}+15x_{4}=601. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares. Vamos usar:
– Método direto 1: eliminação de Gauss com substituição regressiva.
– Método direto 2: regra de Cramer.
– Método iterativo: Gauss–Seidel (iteração de ponto fixo).

Passo 2

Método direto 1 (eliminação de Gauss + substituição para trás)
  1. Primeiro eliminamos x_{1}\) das equações 2, 3 e 4 usando combinações lineares com a eq. 1: **a)** \(\text{eq}_3 - \text{eq}_4 \;\Rightarrow \;7x_{2}+10x_{3}+7x_{4}=369\). (chamamos de eq. 5) **b)** \(3\times\text{eq}_2 -20\times\text{eq}_1 \;\Rightarrow \;x_{2}+4x_{3}+50x_{4}=834\). (eq. 6) **c)** \(3\times\text{eq}_4 -10\times\text{eq}_1 \;\Rightarrow \;16x_{2}+40x_{3}+155x_{4}=3237\). (eq. 7) 2. Agora temos três equações em \(x_{2},x_{3},x_{4}\): \[\begin{cases} 7x_{2}+10x_{3}+7x_{4}=369,\\\ x_{2}+4x_{3}+50x_{4}=834,\\\\ 16x_{2}+40x_{3}+155x_{4}=3237. \end{cases}
Eliminando x_{2}\] entre as duas primeiras gera-se \[18x_{3}+343x_{4}=5469,\] e entre a segunda e a terceira gera-se \[8x_{3}+215x_{4}=3369.\] 3. Resolve-se esse sistema de duas equações em \[x_{3},x_{4}:
\begin{cases} 18x_{3}+343x_{4}=5469,\\\\ 8x_{3}+215x_{4}=3369. \end{cases}
Fazendo eliminação:
\;563x_{4}=8445 \;\Rightarrow \;x_{4}=15\], \(\;8x_{3}+215\cdot15=3369 \;\Rightarrow \;x_{3}=18.
4. Substitui-se x_{3},x_{4} em, por exemplo, x_{2}+4x_{3}+50x_{4}=834:
\;x_{2}+4\cdot18+50\cdot15=834 \;\Rightarrow \;x_{2}=12.
5. Finalmente, volta-se à eq. 1 para achar x_{1}:
\;3x_{1}+4\cdot12+7\cdot18+20\cdot15=504 \;\Rightarrow \;x_{1}=10.

Passo 3

Método direto 2 (regra de Cramer)
  1. Denotamos por \Delta o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 & 20\\\\ 20&25&40&50\\\\ 10&15&20&22\\\\ 10&8 &10&15 \end{pmatrix},
e por \Delta_{i} o determinante obtido ao substituir a coluna i de A pelo vetor de termos independentes (504,1970,970,601)^{T}.
2. Pela regra de Cramer:
x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta},\quad i=1,2,3,4.
  1. Calculando (por expansão de Laplace ou método de eliminação de Gauss para determinantes), obtém-se
    \Delta\neq0 e
x_{1}=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=10,\quad x_{2}=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=12,\quad x_{3}=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=18,\quad x_{4}=\frac{\Delta_{4}}{\Delta}=15.

Passo 4

Método iterativo (Gauss–Seidel)
  1. Isolamos cada variável:
\begin{aligned} x_{1}&=\frac{504-4x_{2}-7x_{3}-20x_{4}}{3},\\\ x_{2}&=\frac{1970-20x_{1}-40x_{3}-50x_{4}}{25},\\\ x_{3}&=\frac{970-10x_{1}-15x_{2}-22x_{4}}{20},\\\ x_{4}&=\frac{601-10x_{1}-8x_{2}-10x_{3}}{15}. \end{aligned}
  1. Escolhe-se um palpite inicial, por exemplo (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)},x_{4}^{(0)})=(0,0,0,0).
  2. Para k\ge1, atualiza-se em Gauss–Seidel:
\begin{aligned} x_{1}^{(k)}&=\frac{504-4x_{2}^{(k-1)}-7x_{3}^{(k-1)}-20x_{4}^{(k-1)}}{3},\\\ x_{2}^{(k)}&=\frac{1970-20x_{1}^{(k)}-40x_{3}^{(k-1)}-50x_{4}^{(k-1)}}{25},\\\ x_{3}^{(k)}&=\frac{970-10x_{1}^{(k)}-15x_{2}^{(k)}-22x_{4}^{(k-1)}}{20},\\\ x_{4}^{(k)}&=\frac{601-10x_{1}^{(k)}-8x_{2}^{(k)}-10x_{3}^{(k)}}{15}. \end{aligned}
  1. Repete-se até \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\| ficar abaixo de uma tolerância (por ex. 10^{-4}). As iterações convergem numericamente para
    \;(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\approx(10,12,18,15).

Resposta

x_{1}=10,\quad x_{2}=12,\quad x_{3}=18,\quad x_{4}=15.

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