(4 ptos) Para a produção de quatro tipos de televisores precisa-se quatro tipos de materiais. As quantidades destes recursos são:
Mão de obra
Metais
Plásticos
Componentes
Tipo 1
3
20
10
10
Tipo 2
4
25
15
8
Tipo 3
7
40
20
10
Tipo 4
20
50
22
15
Suponhamos que por dia precisa-se: 504 h (horas) de mão de obra, 1970 kg de metais, 970 kg de plástico e 601 componentes. Calcular a quantidade de televisores de cada tipo. Utilize dois métodos diretos e um método iterativo.
Passo 1
O enunciado fornece um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}, onde cada equação corresponde ao consumo diário de um recurso:
O conteúdo é resolução de sistemas lineares. Vamos usar:
– Método direto 1: eliminação de Gauss com substituição regressiva.
– Método direto 2: regra de Cramer.
– Método iterativo: Gauss–Seidel (iteração de ponto fixo).
Passo 2
Método direto 1 (eliminação de Gauss + substituição para trás)
Primeiro eliminamos x_{1}\) das equações 2, 3 e 4 usando combinações lineares com a eq. 1:
**a)** \(\text{eq}_3 - \text{eq}_4 \;\Rightarrow \;7x_{2}+10x_{3}+7x_{4}=369\). (chamamos de eq. 5)
**b)** \(3\times\text{eq}_2 -20\times\text{eq}_1 \;\Rightarrow \;x_{2}+4x_{3}+50x_{4}=834\). (eq. 6)
**c)** \(3\times\text{eq}_4 -10\times\text{eq}_1 \;\Rightarrow \;16x_{2}+40x_{3}+155x_{4}=3237\). (eq. 7)
2. Agora temos três equações em \(x_{2},x_{3},x_{4}\):
\[\begin{cases} 7x_{2}+10x_{3}+7x_{4}=369,\\\ x_{2}+4x_{3}+50x_{4}=834,\\\\ 16x_{2}+40x_{3}+155x_{4}=3237. \end{cases}
Eliminando x_{2}\] entre as duas primeiras gera-se
\[18x_{3}+343x_{4}=5469,\]
e entre a segunda e a terceira gera-se
\[8x_{3}+215x_{4}=3369.\]
3. Resolve-se esse sistema de duas equações em \[x_{3},x_{4}:
e por \Delta_{i} o determinante obtido ao substituir a coluna i de A pelo vetor de termos independentes (504,1970,970,601)^{T}.
2. Pela regra de Cramer:
x_{i}=\frac{\Delta_{i}}{\Delta},\quad i=1,2,3,4.
Calculando (por expansão de Laplace ou método de eliminação de Gauss para determinantes), obtém-se \Delta\neq0 e
Repete-se até \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\| ficar abaixo de uma tolerância (por ex. 10^{-4}). As iterações convergem numericamente para \;(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\approx(10,12,18,15).