\oint_{C} \frac{z e^{z}}{z^{2}-2 z-3} d z, onde C é o losango de vértices \pm 2, e \pm i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C}\frac{z\,e^{z}}{z^{2}-2z-3}\,dz
onde C é o losango de vértices \pm2 e \pm i.
Este é um problema de aplicação do Teorema dos Resíduos de Cauchy, em que precisamos:
  1. Identificar os polos de f(z)=\dfrac{z\,e^{z}}{z^{2}-2z-3}.
  2. Verificar quais ficam dentro de C.
  3. Calcular o resíduo em cada polo interno.
  4. Somar esses resíduos e multiplicar por 2\pi i.

Passo 2

Encontramos os polos resolvendo
z^{2}-2z-3=0\quad\Longrightarrow\quad (z-3)(z+1)=0,
logo há polos simples em z=3 e em z=-1.

Passo 3

Devemos ver quais desses polos estão no interior do losango. O vértice real mais à direita é 2, então z=3 fica fora de C. Já z=-1 está claramente entre -2 e 2, portanto fica dentro de C. Assim, só o polo z=-1 contribui.

Passo 4

Como é polo simples em z=-1, o resíduo é
\Res\bigl(f,-1\bigr) =\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{z\,e^{z}}{(z-3)(z+1)} =\frac{(-1)\,e^{-1}}{-1-3} =\frac{-e^{-1}}{-4} =\frac{e^{-1}}{4}.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{z\,e^{z}}{z^{2}-2z-3}\,dz =2\pi i\sum_{\text{polos int.}}\Res =2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{4} =\frac{\pi i\,e^{-1}}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi i\,e^{-1}}{2}

Exercícios relacionados