Quais das matrizes abaixo são simétricas positivas definidas?
C=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\\\ -1 & 5 & 1 \\\\ -1 & 1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
C=\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 5 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 5\end{pmatrix}
O que o enunciado pede: determinar se a matriz C é simétrica e se é (positiva) definida. Informações dadas: os elementos de C estão explícitos na matriz acima. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Verificar simetria: uma matriz A é simétrica se A^{T}=A, ou seja, se o elemento na linha i, coluna j é igual ao elemento na linha j, coluna i para todo i,j. Aqui, observando C:
C_{12}=-1=C_{21},\quad C_{13}=-1=C_{31},\quad C_{23}=1=C_{32},
e as diagonais são iguais a si mesmas. Logo C^{T}=C, portanto C é simétrica.

Passo 3

Definição e critério prático (aula rápida): uma matriz simétrica A é positiva definida se, para todo vetor não-nulo x, tivermos x^{T}Ax>0. Uma ferramenta muito útil na prova é o critério de Sylvester: para uma matriz simétrica A de ordem n, A é (estritamente) positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes (os determinantes das submatrizes formadas pelas primeiras k linhas e colunas, para k=1,\dots,n) são positivos. Vou usar esse critério porque é rápido de aplicar sem calcular autovalores.
Explicando termos:
  • “Menor principal líder de ordem k” significa o determinante da submatriz obtida pegando as primeiras k linhas e primeiras k colunas de A.
  • Vou denotar D_k esse determinante.

Passo 4

Calcular D_{1} (menor principal de ordem 1): é simplesmente o elemento C_{11}.
D_{1}=1.
Como D_{1}=1>0, o primeiro menor principal é positivo.

Passo 5

Calcular D_{2} (menor principal de ordem 2): é o determinante da submatriz formada pelas primeiras 2 linhas e colunas:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}.
O determinante é
D_{2} = 1\cdot 5 - (-1)\cdot(-1) = 5 - 1 = 4.
Portanto D_{2}=4>0.]

Passo 6

Calcular D_{3} (determinante de C, menor principal de ordem 3). Vou expandir pela primeira linha (fórmula de Laplace):
D_{3}=\det\text{(C)}= 1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]1 & 5\end{pmatrix}=5\cdot5-1\cdot1=25-1=24,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}=(-1)\cdot5-1\cdot(-1)=-5+1=-4,
\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-5\cdot(-1)=-1+5=4.
Substituindo em D_{3}:
D_{3}=1\cdot 24 -(-1)\cdot(-4) +(-1)\cdot 4 = 24 - 4 - 4 = 16.
Logo D_{3}=16>0.]

Passo 7

Aplicando o critério de Sylvester: todos os menores principais líderes foram positivos, isto é,
D_{1}=1>0,\quad D_{2}=4>0,\quad D_{3}=16>0.
Portanto, pela condição necessária e suficiente de Sylvester para matrizes simétricas, C é positiva definida. Força aí — concluímos que C é simétrica (já mostrado) e positiva definida.

Resposta

A matriz C é simétrica positiva definida.

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