(R.P. Singh,“Computer Applications in Food Technology”, Elsevier, 1996, p. 174) Um estudo sensorial foi conduzido com o objetivo de determinar a perda de sabor em função do tempo de armazenagem de um legume congelado. A tabela abaixo apresenta a pontuação sensorial, s, obtida ao longo do tempo, t, medido em meses:
c|cccccc $t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 hline$s$ & 1.5 & 2 & 2 & 3 & 2.5 & 3.5 0 1 2 3 4 6
r^2 1.5 2 2 3 2.5 3.5
Ajuste uma reta aos dados da tabela, calcule o coeficiente de determinação, , e estime a pontuação sensorial após 5 meses de armazenamento.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta (regressão linear simples) aos dados de tempo de armazenagem t e pontuação sensorial s, calcular o coeficiente de determinação r^2 e prever s em t=5 meses. Vamos usar a metodologia de mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, calculamos as médias de t e s:
bar t = 0+1+2+3+4+66 = 166 approx 2,6667,
bar s = 1,5 + 2 + 2 + 3 + 2,5 + 3,56 = 14,56 approx 2,4167

Passo 3

Para encontrar o coeficiente angular b1 e o coeficiente linear b0 usamos:
b1 = sumi (ti - bar t)(si - bar s)sumi (ti - bar t)^2, b0 = bar s - b1,bar t
Calculando os termos:
sumi (ti - bar t)(si - bar s) approx 7,3333, sumi (ti - bar t)^2 approx 23,3333,
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b1 approx 0,3143, b0 approx 2,4167 - 0,3143 times 2,6667 approx 1,5786

Passo 4

O modelo ajustado fica
hat s = b0 + b1,t = 1,5786 + 0,3143,t
Para o coeficiente de determinação usamos
SST = sumi (si - bar s)^2 approx 2,7085, SSR = b1 sumi (ti - bar t)(si - bar s) approx 2,3048,
de modo que
r^2 = SSRSST approx 2,30482,7085 approx 0,851

Passo 5

Por fim, para estimar a pontuação em t = 5 meses, substituímos na reta:
hat s(5) = 1,5786 + 0,3143 times 5 approx 3,1502

Resposta

A reta ajustada é hat s = 1,5786 + 0,3143,t, o coeficiente de determinação é r^2 approx 0,851 e a previsão para 5 meses é hat s(5) approx 3,15.

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