Por meio da eliminação gaussiana, mostre que os sistemas abaixo não têm solução única. Tente concluir, em cada um, se há infinitas ou nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:
x1+x2+x3=4, 2x1+2x2+x3=6, x1+x2+2x3=6
Isso é assunto de Álgebra Linear: resolução de sistemas por eliminação de Gauss. A ideia é montar a matriz aumentada, aplicar operações de linha até ficar numa forma escalonada, e daí ver se há solução única, infinita ou nenhuma.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
Na eliminação de Gauss, usamos operações do tipo “linhaᵢ ← linhaᵢ + k·linhaⱼ” para triangularizar. Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 da primeira linha, primeira coluna).
Passo 3
Zerar o elemento (2,1): linha 2 ← linha 2 − 2·linha 1
A gente vê que a segunda e a terceira linhas têm zeros nas duas primeiras colunas, só mexem em [0;0;1mid2] + [0;0;-1mid -2] = [0;0;0mid0] . Dá pra simplificar ainda mais. Por exemplo, somar linha 2 com linha 3 para criar um zero:
linha 3 ← linha 3 + linha 2
Agora a forma escalonada mostra que temos apenas 2 equações independentes (duas fileiras não nulas) para 3 incógnitas. Isso indica infinitas soluções, pois falta informação para travar todas as variáveis.
Passo 5
Voltando às equações correspondentes:
Da linha 2: x1 = 2 - t, x2 = t, x3 = 2, tinR ⇒
Da linha 1: ⇒ ⇒
Aqui não está preso por nenhuma outra equação, então a gente chama , onde é um parâmetro qualquer. Então
Resposta
O sistema não tem solução única: ele tem infinitas soluções, descritas por