Por meio da eliminação gaussiana, mostre que os sistemas abaixo não têm solução única. Tente concluir, em cada um, se há infinitas ou nenhuma solução.
cx1+x2+x3=4 2 x1+2 x2+x3=6 x1+x2+2 x3=6

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:
x1+x2+x3=4, 2x1+2x2+x3=6, x1+x2+2x3=6
Isso é assunto de Álgebra Linear: resolução de sistemas por eliminação de Gauss. A ideia é montar a matriz aumentada, aplicar operações de linha até ficar numa forma escalonada, e daí ver se há solução única, infinita ou nenhuma.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 2 & 2 & 1 & 6 1 & 1 & 2 & 6 ]
Na eliminação de Gauss, usamos operações do tipo “linhaᵢ ← linhaᵢ + k·linhaⱼ” para triangularizar. Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o 1 da primeira linha, primeira coluna).

Passo 3

Zerar o elemento (2,1): linha 2 ← linha 2 − 2·linha 1
&[2;2;1mid6] - 2cdot[1;1;1mid4] = [2-2,;2-2,;1-2,;6-8] &= [0,;0,;-1,;-2]
Zerar o elemento (3,1): linha 3 ← linha 3 − 1·linha 1
[1;1;2mid6] - [1;1;1mid4] = [0,;0,;1,;2]
Agora a matriz está assim:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 2 ]

Passo 4

A gente vê que a segunda e a terceira linhas têm zeros nas duas primeiras colunas, só mexem em [0;0;1mid2] + [0;0;-1mid -2] = [0;0;0mid0] . Dá pra simplificar ainda mais. Por exemplo, somar linha 2 com linha 3 para criar um zero:
linha 3 ← linha 3 + linha 2
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 ]
Fica:
Agora a forma escalonada mostra que temos apenas 2 equações independentes (duas fileiras não nulas) para 3 incógnitas. Isso indica infinitas soluções, pois falta informação para travar todas as variáveis.

Passo 5

Voltando às equações correspondentes:
Da linha 2: x1 = 2 - t, x2 = t, x3 = 2, tinR
Da linha 1:
Aqui não está preso por nenhuma outra equação, então a gente chama , onde é um parâmetro qualquer. Então

Resposta

O sistema não tem solução única: ele tem infinitas soluções, descritas por
l(x1,x2,x3r) = l(2 - t,;t,;2r), tin R

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