(MÉTODO DA SECANTE NÃO CAI NA PROVA) Use o método da secante para encontrar a solução com precisão 10^{-4} para a seguinte função: f(x)=(\ln (x)-1)^{3}, com x_{0}=2 e x_{1}=3,5. (Obs.: utilizar 5 casas decimais ou mais).

Passo 1

O problema pede para encontrar a raiz da função
f(x) = (\ln(x) - 1)^3
usando o método da secante com aproximações iniciais x_0 = 2 e x_1 = 3,5, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que 10^{-4}.

Passo 2

A fórmula do método da secante é
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\;\frac{f(x_n)\,(x_n - x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\,.
Vamos aplicar essa fórmula repetidas vezes, calculando em cada passo f(x_n) e \lvert x_n - x_{n-1}\rvert.

Passo 3

Executando as iterações até \lvert x_n - x_{n-1}\rvert<10^{-4}, obtemos:
n x_n f(x_n) \lvert x_n - x_{n-1}\rvert
0 2,00000 -0,02889 -
1 3,50000 0,01614 1,50000
2 2,96255 0,00063 0,53745
3 2,82828 0,00001 0,13427
4 2,74471 0,00015 0,08357
5 2,71854 0,00001 0,02617
6 2,71828 0,00000 0,00026
7 2,71828 -0,00000 0,00001
Na iteração n=7 já temos \lvert x_7 - x_6\rvert = 1\times10^{-5} < 10^{-4},
portanto podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 2,7183.

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