(… pontos)
(a) Aplique o Método da Posição Falsa para encontrar uma aproximação para o zero de f(x)= 3 \sqrt[3]{x}-x^{3}+\ln (x) no intervalo [1,2] com precisões \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,005. (Fazer arredondamentos e usar 5 casas decimais.)
(b) Se fosse usado o método da bisseção, qual seria a quantidade mínima de iterações necessárias para obter uma aproximação de acordo a aproximação, função e intervalo dados no item (a)?

Passo 1

O enunciado pede (a) usar o Método da Posição Falsa para achar um zero de
f(x)=3\sqrt[3]{x}-x^3+\ln(x)
no intervalo [1,2], com tolerâncias \varepsilon_1=\varepsilon_2=0{,}005 e arredondamentos a 5 casas decimais em cada iteração. A condição de parada é simultaneamente
|x_n - x_{n-1}|<\varepsilon_1 \quad\text{e}\quad |f(x_n)|<\varepsilon_2.
Em (b) comparamos com o Método da Bisseção para ver quantas iterações seriam necessárias para obter erro em x\le0{,}005.

Passo 2

Primeiro avaliamo-s f nas extremidades:
f(1)=3\cdot1-1+\ln(1)=2{,}00000, \quad f(2)=3\cdot2^{1/3}-8+\ln(2)\approx-3{,}52709.
Como f(1)f(2)<0, calculamos a primeira abscissa pela fórmula
x_1 = \frac{1\cdot f(2)-2\cdot f(1)}{f(2)-f(1)} =1{,}36200.
Em seguida
f(x_1) =3\sqrt[3]{1{,}36200}-(1{,}36200)^3+\ln(1{,}36200) \approx1{,}10789>0,
logo o novo intervalo é [x_1,2].

Passo 3

Repetimos o processo até satisfazer as duas tolerâncias. Segue a sequência (x_n,f(x_n)), sempre arredondando x_n a 5 casas e f(x_n) a 5 casas:
\begin{array}{c|c|c} n & x_n & f(x_n) \\\ \hline 2 & 1{,}51511 & 0{,}38300 \\\\ 3 & 1{,}56404 & 0{,}10430 \\\\ 4 & 1{,}57679 & 0{,}02344 \\\\ 5 & 1{,}58065 & 0{,}00604 \\\\ 6 & 1{,}58201 & -0{,}00460 \end{array}
Em cada iteração escolhe-se o subintervalo cujo extremal faz f de sinais opostos e refaz-se a fórmula da posição falsa.

Passo 4

No passo n=6 obtivemos
|x_6-x_5|=|1{,}58201-1{,}58065|=0{,}00136<0{,}005, \qquad |f(x_6)|=0{,}00460<0{,}005,
logo ambas as tolerâncias são satisfeitas e paramos com x_6=1{,}58201.
Para o Método da Bisseção, a garantia de erro em x é
|c_n-\alpha|\le\frac{b-a}{2^{\,n+1}},
com b-a=1. Queremos \tfrac1{2^{\,n+1}}\le0{,}005, ou seja
2^{\,n+1}\ge200 \;\Rightarrow\; n+1\ge\log_2(200)\approx7{,}64 \;\Rightarrow\; n\ge7.
São necessárias no mínimo 7 iterações.

Resposta

(a) Aproximação pelo Método da Posição Falsa: x\approx1{,}58201
(b) Método da Bisseção: 7 iterações.

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