Mostrar que se
então
Passo 1
Beleza, o enunciado é este: “Mostrar que se
então
.”
Conteúdo: estamos trabalhando com divisibilidade e o máximo divisor comum (MDC ou ).
O que precisamos:
Conteúdo: estamos trabalhando com divisibilidade e o máximo divisor comum (MDC ou
O que precisamos:
- Entender a definição de
– ou seja, o maior número que divide ao mesmo tempo e . - Conhecer a propriedade de que, se um número divide dois outros, qualquer combinação linear deles também é dividida por esse número.
- Usar o fato dado de que
, ou seja, para algum inteiro .
Passo 2
Vamos lembrar a definição de
:
- Um inteiro
é se (i) divide e , e (ii) qualquer outro divisor comum de e também divide .
Passo 3
Primeira mão da prova (mostrar
divide
):
- Seja
. Por definição, e . - Como
, escrevemos . - Então
. - Pela propriedade da divisibilidade, se
e , então . - Logo
e , ou seja, é um divisor comum de e . - Isso mostra que qualquer divisor comum de
e (em particular ) também divide qualquer divisor comum de e , ou seja, .
Passo 4
Segunda mão da prova (mostrar
divide
):
- Seja
. Então e . - De novo, como
, temos . - Se
e , então . - Logo
. Como já tínhamos , concluímos que é divisor comum de e . - Então
.
Passo 5
Dos dois lados vimos que
Isso só pode ocorrer se forem iguais.