Mostre que se
são tais que
e
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
e .
O que se pede:
- Mostrar que
.
Passo 2
Definição de divisibilidade (para ficar bem claro): dizer que
significa que existe um inteiro
tal que
.
Exemplo rápido e intuitivo: porque existe
com
.
Exemplo rápido e intuitivo:
Passo 3
Aplicando a definição às hipóteses do enunciado temos a existência de inteiros
e
tais que
e
Passo 4
Substituindo a expressão de
na expressão de
obtemos
Isto implica
Passo 5
Fazemos uma análise em casos.
Caso 1:
.
Se e como
, segue que
. Então
, e a conclusão vale.
Se
Caso 2:
.
Como e
, deve ocorrer
, ou seja
Como
Passo 6
Se
com
, então
e
são divisores de
no conjunto dos inteiros. Os únicos divisores inteiros de
são
e
. Portanto
.
Usando
e tomando valores absolutos:
Passo 7
Nos dois casos (quando
e quando
) chegamos à mesma conclusão:
. Assim, a afirmação está provada.