Mostre que se a, b \in \mathbb{Z} são tais que a \mid b e b \mid a, então |a|=|b|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b \in \mathbb{Z}.
  • a \mid b e b \mid a.
O que se pede:
  • Mostrar que |a| = |b|.

Passo 2

Definição de divisibilidade (para ficar bem claro): dizer que x \mid y significa que existe um inteiro t tal que y = x\,t.
Exemplo rápido e intuitivo: 3 \mid 12 porque existe t=4 com 12 = 3\cdot4.

Passo 3

Aplicando a definição às hipóteses do enunciado temos a existência de inteiros k e l tais que
b = a\,k
e
a = b\,l.

Passo 4

Substituindo a expressão de b na expressão de a obtemos
a = (a\,k)\,l = a\,(k l).
Isto implica
a\,(1 - k l) = 0.

Passo 5

Fazemos uma análise em casos.
Caso 1: \,a = 0.
Se \,a = 0 e como b = a\,k, segue que b = 0. Então |a| = 0 = |b|, e a conclusão vale.
Caso 2: \,a \neq 0.
Como \,a\,(1 - k l) = 0 e \,a \neq 0, deve ocorrer 1 - k l = 0, ou seja
k l = 1.

Passo 6

Se k l = 1 com k,l \in \mathbb{Z}, então k e l são divisores de 1 no conjunto dos inteiros. Os únicos divisores inteiros de 1 são 1 e -1. Portanto |k| = 1.
Usando b = a\,k e tomando valores absolutos:
|b| = |a\,k| = |a|\;|k| = |a|\cdot 1 = |a|.

Passo 7

Nos dois casos (quando a=0 e quando a\neq0) chegamos à mesma conclusão: |a| = |b|. Assim, a afirmação está provada.

Resposta

|a| = |b|

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