Mostre que as equações a seguir possuem pelo menos uma solução no intervalo especificado.
x-(\ln x)^{x}=0 em [4,5]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x - (\ln x)^{x} = 0
possui pelo menos uma solução em [4,5].
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela zera em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Definimos
f(x) = x - (\ln x)^{x}.
Como x\mapsto\ln x é contínua em [4,5] e a operação de elevar à potência x e subtrair de x preservam a continuidade, concluímos que f é contínua em [4,5].

Passo 3

Para x=4, calculamos aproximadamente:
f(4) = 4 - (\ln4)^{4} \approx 4 - 3,694 = 0,306 > 0.

Passo 4

Para x=5, temos:
f(5) = 5 - (\ln5)^{5} \approx 5 - 10,799 = -5,799 < 0.

Passo 5

Visto que f é contínua em [4,5] e que
f(4) > 0 > f(5),
pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto c\in(4,5) tal que f\text{(c)}=0.

Resposta

A equação x - (\ln x)^{x} = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [4,5].

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