Mostre que as equações a seguir possuem uma única raiz real positiva.
e^{x}+x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
e^{x} + x - 2 = 0
possui exatamente uma raiz real positiva. O conteúdo que vamos usar é análise de função: continuidade, monotonicidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = e^{x} + x - 2.
Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x} + x - 2\bigr) = e^{x} + 1.
Como e^{x}>0 para todo x, segue que
f'(x) = e^{x} + 1 > 0
em \mathbb{R}. Logo, f é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar existência de raiz positiva, avaliamos f em dois pontos:
f(0) = e^{0} + 0 - 2 = 1 - 2 = -1 < 0,
f(1) = e^{1} + 1 - 2 = e - 1 > 0\quad(\text{pois }e\approx2{,}718).
Como f é contínua e muda de sinal entre x=0 e x=1, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz x_{0}\in(0,1).

Passo 4

Como f é estritamente crescente em \mathbb{R}, não pode ter duas raízes distintas (pois isso faria f decrescer para voltar a cruzar o eixo). Portanto, a raiz em (0,1) é única em todo o domínio real.

Resposta

A equação e^{x} + x - 2 = 0 tem exatamente uma única raiz real positiva, que fica em (0,1).

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