Mostre que as equações a seguir possuem uma única raiz real positiva.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui exatamente uma raiz real positiva. O conteúdo que vamos usar é análise de função: continuidade, monotonicidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Definimos a função
Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada:
Como
para todo
, segue que
em
. Logo,
é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar existência de raiz positiva, avaliamos
em dois pontos:
Como
é contínua e muda de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
.
Passo 4
Como
é estritamente crescente em
, não pode ter duas raízes distintas (pois isso faria
decrescer para voltar a cruzar o eixo). Portanto, a raiz em
é única em todo o domínio real.
Resposta
A equação
tem exatamente uma única raiz real positiva, que fica em
.