- Se
é uma série convergente, então podemos afirmar que
é uma série divergente ?
- Suponha que uma série
tenha termos positivos e suas somas parciais
satisfaçam a desigualdade
para todo
. Explique porque
deve ser convergente. [Dica: Usar que toda sequência monótona limitada é convergente]
Passo 1
O enunciado apresenta duas questões sobre séries numéricas. Na questão 5, temos a série
com
convergente, e queremos analisar a divergência de
. Na questão 6, uma série de termos positivos
tem soma parcial
para todo
, e precisamos mostrar que ela converge usando que sequências monótonas e limitadas convergem. Para resolver, vamos usar o teste de divergência para séries (que exige
) e a propriedade de sequências monotônicas limitadas.
Passo 2
Para a questão 5, se
converge então
. Assim
não existe ou é infinito, ou seja, os termos
não tendem a zero. Pelo teste de divergência (se os termos não vão a zero, a série não pode convergir) concluímos que
diverge.
Passo 3
Para a questão 6, como
, as somas parciais
formam uma sequência monótona não decrescente. Além disso, o enunciado dá
para todo
, ou seja,
é limitada superiormente. Uma sequência monótona e limitada converge, logo
converge para algum limite finito
. Isso significa que a série
converge para
.
Resposta
- A série
diverge, pois seus termos não tendem a zero. - A série
converge, pois suas somas parciais são monótonas e limitadas.