Mostre que as equações a seguir possuem uma única raiz real positiva.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real positiva. Para isso, vamos definir
e usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz em
e, em seguida, verificar a monotonicidade de
por meio de sua derivada para garantir a unicidade.
Passo 2
Observamos que
Como
é soma de funções contínuas
e
, ela é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz
em
, portanto positiva.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para todo
temos
e
, logo
Isso mostra que
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente só pode zerar uma vez, garantindo a unicidade da raiz encontrada em
.
Resposta
A equação
possui exatamente uma única raiz real positiva.