Mostre que as equações a seguir possuem uma única raiz real positiva.
e^{x}+x^{3}-2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
e^{x} + x^{3} - 2 = 0
tem exatamente uma raiz real positiva. Para isso, vamos definir
f(x) = e^{x} + x^{3} - 2
e usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz em (0,1) e, em seguida, verificar a monotonicidade de f por meio de sua derivada para garantir a unicidade.

Passo 2

Observamos que
f(0) = e^{0} + 0^{3} - 2 = 1 - 2 = -1,
f(1) = e^{1} + 1^{3} - 2 = e - 1 > 0.
Como f é soma de funções contínuas e^{x} e x^{3}, ela é contínua em \mathbb{R}. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz \alpha em (0,1), portanto positiva.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x} + x^{3} - 2\bigr) = e^{x} + 3x^{2}.
Para todo x\in\mathbb{R} temos e^{x}>0 e 3x^{2}\ge0, logo
f'(x) = e^{x} + 3x^{2} > 0.
Isso mostra que f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente só pode zerar uma vez, garantindo a unicidade da raiz encontrada em (0,1).

Resposta

A equação e^{x} + x^{3} - 2 = 0 possui exatamente uma única raiz real positiva.

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