a. Mostre que se for qualquer número positivo, então a seqüência definida por
convergirá para , sempre que .
b. O que ocorre se ?
21. Substitua a hipótese no Teorema 2.3 de que "existe um número positivo com " por " satisfaz uma condição de Lipschitz no intervalo , com constante de Lipschitz ". (Consulte o Exercício 25, Seção 1.1.) Mostre que as conclusões do teorema permanecem válidas.
Passo 1
Beleza, temos dois probleminhas aqui de análise:
No 20a queremos mostrar que a sequênciaconverge para .
No 20b vamos ver o que acontece se .
No 21, a gente substitui na demonstração do Teorema 2.3 (o do ponto‐fixo) a condição “” por “ é Lipschitz em com constante ” e mostra que tudo continua valendo: existência e unicidade do ponto‐fixo e convergência da iteração.
O que vamos usar:
Conceito de ponto-fixo .
Critério de sequência monótona e limitada convergente.
Propriedade de função Lipschitz para contrair distâncias.
Passo 2
A sequência é gerada pela iteração com
Primeiro, a gente mostra que, para , .
Depois, vamos provar que se então a sequência é decrescente e sempre maior que . Se , ela é crescente e sempre menor que .
Como toda sequência monótona e limitada converge, digamos .
No limite, leva a , e como temos .
Passo 3
a) Positividade: se então , logo
b) Monotonia e limite inferior/superior:
Suponha . Compare com :Como , a diferença é negativa, ou seja .
Além disso, porque você pode checar que
Se , o mesmo cálculo mostra e também .
Portanto, a sequência é monotônica e fica presa no intervalo .
Passo 4
Pelo Teorema de que “toda sequência monótona e limitada converge”, existe
No limite, , ou seja
(só cabe a raiz positiva porque ).
Passo 5
Se , note que para todo . Logo todos os são negativos e repetimos a análise acima: a sequência é monótona para e limitada, converge a um limite que satisfaz . Assim
Passo 6
O Teorema 2.3 diz basicamente: se é differentiable e então
existe único tal que ,
a iteração converge a .
Substituir “” por “ é Lipschitz em com constante ” é tranquilo, porque a condição de Lipschitz
é justamente o que a gente usava via Teorema do Valor Médio (que dava ).
Com Lipschitz temos:
Unicidade: se são fixos, . Como , isso força .
Convergência: supondo , pela hipótese a iteração fica sempre em . E
Pronto! As conclusões do teorema continuam valendo sem precisar falar de derivada, só de Lipschitz com constante menor que 1.
Resposta
20a) Para , converge monótona e limitada para .
20b) Para , converge para .
21) Substituir “” por “ é Lipschitz com ” não muda nada: ainda há único ponto-fixo em e a iteração converge geometricamente a ele.