1. a. Mostre que se A for qualquer número positivo, então a seqüência definida por
xn=12 xn-1+A2 xn-1, para n >= 1,
convergirá para raizA, sempre que x0>0.
b. O que ocorre se x0<0 ?
21. Substitua a hipótese no Teorema 2.3 de que "existe um número positivo k<1 com g " por " [a, b] satisfaz uma condição de Lipschitz no intervalo L<1, com constante de Lipschitz ". (Consulte o Exercício 25, Seção 1.1.) Mostre que as conclusões do teorema permanecem válidas.

Passo 1

Beleza, temos dois probleminhas aqui de análise:
  • No 20a queremos mostrar que a sequência xn = tfrac12,xn-1 + tfracA2,xn-1, x0>0converge para .
  • No 20b vamos ver o que acontece se .
  • No 21, a gente substitui na demonstração do Teorema 2.3 (o do ponto‐fixo) a condição “ ” por “ é Lipschitz em com constante ” e mostra que tudo continua valendo: existência e unicidade do ponto‐fixo e convergência da iteração.
O que vamos usar:
  1. Conceito de ponto-fixo .
  2. Critério de sequência monótona e limitada convergente.
  3. Propriedade de função Lipschitz para contrair distâncias.

Passo 2

A sequência é gerada pela iteração g(x)=x + A/x2 com
  1. Primeiro, a gente mostra que, para , .
  2. Depois, vamos provar que se então a sequência é decrescente e sempre maior que . Se , ela é crescente e sempre menor que .
  3. Como toda sequência monótona e limitada converge, digamos .
  4. No limite, leva a , e como temos .

Passo 3

a) Positividade: se g(x)=tfrac12(x + A/x)>0 então xn - xn-1 = xn-1 + A/xn-12 - xn-1 = A/xn-1 - xn-12 = -xn-1^2 - A2,xn-1 , logo
g(x) - raiz A = x + A/x - 2raiz A2 = (raiz x - raiz A)^22x >=0 para x>raiz A
b) Monotonia e limite inferior/superior:
  • Suponha . Compare com : Como , a diferença é negativa, ou seja .
    Além disso, porque você pode checar que
  • Se , o mesmo cálculo mostra e também .
Portanto, a sequência é monotônica e fica presa no intervalo .

Passo 4

Pelo Teorema de que “toda sequência monótona e limitada converge”, existe
L=limntoinfty xn
No limite, L = L + A/L2 ;Longrightarrow; 2L = L + A L ;Longrightarrow; L^2 = A ;Longrightarrow; L = +raiz A , ou seja
(só cabe a raiz positiva porque ).

Passo 5

Se limntoinfty xn = -raiz A , note que para todo . Logo todos os são negativos e repetimos a análise acima: a sequência é monótona para e limitada, converge a um limite que satisfaz . Assim

Passo 6

O Teorema 2.3 diz basicamente: se lvert g(x)-g(y)rvert <= L,lvert x-yrvert é differentiable e lvert xn+1-rrvert = lvert g(xn)-g(r)rvert <= L,lvert xn-rrvert <= L^n,lvert x0-rrvert ;xrightarrow[ntoinfty]0 então
  1. existe único tal que ,
  2. a iteração converge a .
Substituir “ ” por “ é Lipschitz em com constante ” é tranquilo, porque a condição de Lipschitz
é justamente o que a gente usava via Teorema do Valor Médio (que dava ).
Com Lipschitz temos:
  • Unicidade: se são fixos,
    . Como , isso força .
  • Convergência: supondo , pela hipótese a iteração fica sempre em . E
Pronto! As conclusões do teorema continuam valendo sem precisar falar de derivada, só de Lipschitz com constante menor que 1.

Resposta

20a) Para , converge monótona e limitada para .
20b) Para , converge para .
21) Substituir “ ” por “ é Lipschitz com ” não muda nada: ainda há único ponto-fixo em e a iteração converge geometricamente a ele.

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