1. Use ponto fixo para resolver
e^{-x}=x^{2}
usando a iteração
x_{n+1}=\sqrt{e^{-x_{n}}}
Calcule 6 iterações iniciando em x_{0}=0.5.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método do ponto fixo com a iteração
x_{n+1}=\sqrt{e^{-x_{n}}}
começando em x_{0}=0,5 e calcular seis iterações.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação original: } e^{-x}=x^{2},\\\ &\text{Iteração: } x_{n+1}=\sqrt{e^{-x_{n}}},\\\ &\text{Valor inicial: } x_{0}=0,5,\\\ &\text{Deseja-se os valores } x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}. \end{aligned}çãçã

Passo 2

O que é ponto fixo e por que essa iteração tem a ver com a equação?
Uma função g tem um ponto fixo x^{*} se
x^{*}=g(x^{*}).
Aqui, se definirmos
g(x)=\sqrt{e^{-x}},
um ponto fixo de g satisfaz
x=g(x)=\sqrt{e^{-x}},
que, elevando ao quadrado, dá
x^{2}=e^{-x},
ou seja, recuperamos a equação original. Portanto procurar um ponto fixo de g é equivalente a resolver e^{-x}=x^{2}. A iteração do ponto fixo gera uma sequência
x_{n+1}=g(x_{n}),
na esperança de que x_{n}\to x^{*}.

Passo 3

Uma simplificação útil da iteração: note que
\sqrt{e^{-x}}=e^{-x/2}.
Então podemos escrever a iteração de forma mais simples:
x_{n+1}=e^{-x_{n}/2}.
Isto facilita o cálculo porque trabalhamos sempre com exponenciais.

Passo 4

Cálculo de x_{1}. Usando x_{0}=0,5 e a fórmula x_{1}=e^{-x_{0}/2}:
x_{1}=e^{-0,5/2}=e^{-0,25}.
Usando uma calculadora (ou tabela) obtemos
x_{1}\approx 0,7788007831.
(Nas provas normalmente é aceitável usar calculadora para exponenciais; se precisar, pode usar aproximações por série, mas aqui usaremos valores numéricos.)

Passo 5

Cálculo de x_{2}. Aplicando a fórmula com x_{1}:
x_{2}=e^{-x_{1}/2}=e^{-0,7788007831/2}=e^{-0,38940039155}.
Calculando numericamente,
x_{2}\approx 0,6774629658.

Passo 6

Cálculo de x_{3}. Aplicando a fórmula com x_{2}:
x_{3}=e^{-x_{2}/2}=e^{-0,6774629658/2}=e^{-0,3387314829}.
Calculando numericamente,
x_{3}\approx 0,7126732572.

Passo 7

Cálculo de x_{4}. Aplicando a fórmula com x_{3}:
x_{4}=e^{-x_{3}/2}=e^{-0,7126732572/2}=e^{-0,3563366286}.
Calculando numericamente,
x_{4}\approx 0,7002368637.

Passo 8

Cálculo de x_{5}. Aplicando a fórmula com x_{4}:
x_{5}=e^{-x_{4}/2}=e^{-0,7002368637/2}=e^{-0,35011843185}.
Calculando numericamente,
x_{5}\approx 0,7044700933.

Passo 9

Cálculo de x_{6}. Aplicando a fórmula com x_{5}:
x_{6}=e^{-x_{5}/2}=e^{-0,7044700933/2}=e^{-0,35223504665}.
Calculando numericamente,
x_{6}\approx 0,7021661295.

Passo 10

Observação sobre o comportamento: os valores oscilaram e estão se aproximando de um valor perto de 0,702. Na prática, para decidir quando parar na prova, você pode calcular a diferença |x_{n+1}-x_{n}| e parar quando essa diferença for menor que a tolerância desejada (por exemplo 10^{-4} ou 10^{-6}). Aqui vemos já uma aproximação razoável após poucas iterações.

Resposta

x_{1}\approx 0,7788007831
x_{2}\approx 0,6774629658
x_{3}\approx 0,7126732572
x_{4}\approx 0,7002368637
x_{5}\approx 0,7044700933
x_{6}\approx 0,7021661295

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