- Use ponto fixo para resolver
usando a iteração
Calcule 6 iterações iniciando em
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método do ponto fixo com a iteração
começando em
e calcular seis iterações.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
O que é ponto fixo e por que essa iteração tem a ver com a equação?
Uma função tem um ponto fixo
se
Uma função
Aqui, se definirmos
um ponto fixo de
satisfaz
que, elevando ao quadrado, dá
ou seja, recuperamos a equação original. Portanto procurar um ponto fixo de
é equivalente a resolver
. A iteração do ponto fixo gera uma sequência
na esperança de que
.
Passo 3
Uma simplificação útil da iteração: note que
Então podemos escrever a iteração de forma mais simples:
Isto facilita o cálculo porque trabalhamos sempre com exponenciais.
Passo 4
Cálculo de
. Usando
e a fórmula
:
Usando uma calculadora (ou tabela) obtemos
(Nas provas normalmente é aceitável usar calculadora para exponenciais; se precisar, pode usar aproximações por série, mas aqui usaremos valores numéricos.)
Passo 5
Cálculo de
. Aplicando a fórmula com
:
Calculando numericamente,
Passo 6
Cálculo de
. Aplicando a fórmula com
:
Calculando numericamente,
Passo 7
Cálculo de
. Aplicando a fórmula com
:
Calculando numericamente,
Passo 8
Cálculo de
. Aplicando a fórmula com
:
Calculando numericamente,
Passo 9
Cálculo de
. Aplicando a fórmula com
:
Calculando numericamente,
Passo 10
Observação sobre o comportamento: os valores oscilaram e estão se aproximando de um valor perto de
. Na prática, para decidir quando parar na prova, você pode calcular a diferença
e parar quando essa diferença for menor que a tolerância desejada (por exemplo
ou
). Aqui vemos já uma aproximação razoável após poucas iterações.