Mostre que se A é uma matriz positiva definida, então A=L D L^T, em que L é uma matriz triangular inferior e D é uma matriz diagonal positiva.

Passo 1

Temos A uma matriz simétrica e positiva definida, e queremos mostrar que existe decomposição do tipo A = L D L^T, com L triangular inferior e D diagonal de entradas positivas.

Passo 2

Para iniciar, particionamos A da forma
A = a11 & a12^T a12 & A22,
onde a11 é escalar, a12 é vetor, e A22 é matriz de ordem (n-1)times(n-1). Como A é positiva definida, temos a11>0 e os menores principais levam ao fato de que o complemento de Schur
S = A22 - 1a11,a12,a12^T
é também positivo definido.

Passo 3

Mostramos que S é positiva definida pelo seguinte argumento de Schur: para qualquer xneq0,
x^T S x = -tfraca12^Ta11x x^T A -tfraca12^Ta11x x > 0
pois a combinação de vetores não nulos aplicada a A retorna algo estritamente positivo. Assim, S é positiva definida.

Passo 4

Pelo princípio de indução, assumimos que toda matriz positiva definida de ordem < n admite fatoração LDL ^T. Como S é positiva definida de ordem n-1, existe
S = L' D' L'^T
com L' triangular inferior e unitária (1’s na diagonal) e D' diagonal de entradas positivas.

Passo 5

Finalmente, definimos
L = 1 & 0 tfraca12a11 & L', D = a11 & 0 0 & D'
Basta verificar por multiplicação de blocos que L D L^T = A. Isso conclui a existência da decomposição com todas as entradas de D positivas.

Passo 6

Em resumo, usamos o fato de que uma matriz positiva definida tem complementos de Schur positivos definidos e aplicamos indução para montar a fatoração em blocos.

Resposta

Portanto, toda matriz simétrica positiva definida A admite A = L D L^T, onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e D é diagonal com entradas estritamente positivas.

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