Utilize o resultado anterior para mostrar que uma matriz positiva-definida pode ser decomposta na forma
, em que
é uma matriz triangular com elementos diagonais positivos.
Passo 1
Estamos com uma matriz real simétrica e positiva-definida
e queremos mostrar que ela admite uma fatoração do tipo
, onde
é triangular inferior e tem entradas diagonais positivas. Vamos usar o resultado já provado de que uma matriz simétrica, cujos menores principais são não-nulos (aqui positivos), admite decomposição do tipo
.
Passo 2
Como
é positiva-definida, todos os seus menores principais são positivos. Isso garante que na eliminação de Gauss sem pivoteamento encontramos
onde
Passo 3
Basta então “absorver” a raiz de
em
. Definimos
Passo 4
Logo temos
e assim exibimos a decomposição de Cholesky de
Resposta
Qualquer matriz simétrica positiva-definida
pode ser escrita como
, onde
é triangular inferior e tem entradas diagonais positivas.