Utilize o resultado anterior para mostrar que uma matriz positiva-definida pode ser decomposta na forma A=L L^T, em que L é uma matriz triangular com elementos diagonais positivos.

Passo 1

Estamos com uma matriz real simétrica e positiva-definida A e queremos mostrar que ela admite uma fatoração do tipo A=L,L^T, onde L é triangular inferior e tem entradas diagonais positivas. Vamos usar o resultado já provado de que uma matriz simétrica, cujos menores principais são não-nulos (aqui positivos), admite decomposição do tipo A=L,D,L^T.

Passo 2

Como A é positiva-definida, todos os seus menores principais são positivos. Isso garante que na eliminação de Gauss sem pivoteamento encontramos
A=L,D,L^T,
onde L é triangular inferior com diagonal unitária e D=diag(d11,d22,dots,dnn) tem entradas dii>0 (são exatamente os pivôs, que coincidem com os menores principais).

Passo 3

Basta então “absorver” a raiz de D em L. Definimos
widetilde L = L,D^1/2,onde D^1/2=diag(raizd11,raizd22,dots,raizdnn). Note que widetilde L continua triangular inferior e, pela escolha,
widetilde Lii=raizdii>0

Passo 4

Logo temos
A=L,D,L^T = (L,D^1/2),(L,D^1/2)^T = widetilde L,widetilde L^T,
e assim exibimos a decomposição de Cholesky de A.

Resposta

Qualquer matriz simétrica positiva-definida A pode ser escrita como A=widetilde L,widetilde L^T, onde widetilde L é triangular inferior e tem entradas diagonais positivas.

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