Mostre que a sequência \left\{x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\right\} converge linearmente a x=0. Determine k tal que \left|x_{n}-x\right| \leq 0.05.

Passo 1

O enunciado diz para estudar a sequência
x_n = \frac{1}{n^2}
e mostrar que ela converge “linearmente” para x=0. Além disso, precisamos achar um índice k tal que
\bigl|x_k - 0\bigr| \le 0,05.
O conteúdo principal é a definição de convergência linear (ou seja, decaimento do erro à custa de um fator constante menor que 1) e, em seguida, resolver uma desigualdade simples para determinar k.

Passo 2

Definição prática de convergência linear: dizemos que x_n\to 0 linearmente se existe uma constante q\in(0,1) e um N tais que, para todo n\ge N,
\lvert x_{n+1}\rvert \le q\,\lvert x_n\rvert.
Aqui calculamos a razão dos termos consecutivos:
\frac{\lvert x_{n+1}\rvert}{\lvert x_n\rvert} = \frac{1/(n+1)^2}{1/n^2} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^2.
Como para todo n\ge1 tem \bigl(n/(n+1)\bigr)^2<1, concluímos que cada erro sucessivo é estritamente menor que o anterior por um fator abaixo de 1. Isso caracteriza convergência linear (o “fator” efetivo varia com n, mas está sempre em (0,1)).

Passo 3

Para encontrar k tal que
\lvert x_k - 0\rvert = \frac{1}{k^2} \le 0,05,
basta resolver
\frac{1}{k^2} \le 0,05 \quad\Longleftrightarrow\quad k^2 \ge \frac{1}{0,05} = 20 \quad\Longleftrightarrow\quad k \ge \sqrt{20}\approx 4,4721.
Como k deve ser inteiro, o menor k que satisfaz é k=5.

Resposta

O fator de convergência \bigl(n/(n+1)\bigr)^2 está sempre em (0,1), logo a sequência converge linearmente para 0. E o menor índice que garante \lvert x_k\rvert\le0,05 é
k = 5.

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