Para
, prove a seguinte identidade:
[Sugestão: Considere
no teorema binomial.]
[Sugestão: Considere
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar que, para todo número natural
, a soma de todos os binomiais de
até
dá
:
O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial. Para resolver, a gente precisa lembrar da fórmula
e depois fazer a escolha esperta de
e
.
Passo 2
Vamos entender o Teorema Binomial sem pressa:
-
é o “n choose k”, o número de jeitos de escolher itens de um conjunto de . - A fórmula
diz que, ao expandir , cada termo “ ” aparece vezes.
Até aqui só teoria: a gente sabe expandir potências de soma.
Passo 3
Agora a sacada: se eu escolher
e
, cada termo fica bem simples:
Só sobrou a soma dos binomiais. Por outro lado,
.