Para n=1, prove a seguinte identidade:
binomn0+binomn1+binomn2+cdots+binomnn=2^n
[Sugestão: Considere a=b=1 no teorema binomial.]

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que, para todo número natural binomn0 + binomn1 + cdots + binomnn ;=; 2^n , a soma de todos os binomiais de (a + b)^n ;=; sumk=0^n binomnk ,a^,n-k,b^k, até :
O conteúdo principal aqui é o Teorema Binomial. Para resolver, a gente precisa lembrar da fórmula
e depois fazer a escolha esperta de e .

Passo 2

Vamos entender o Teorema Binomial sem pressa:
  • é o “n choose k”, o número de jeitos de escolher itens de um conjunto de .
  • A fórmula diz que, ao expandir , cada termo “ ” aparece vezes.
Até aqui só teoria: a gente sabe expandir potências de soma.

Passo 3

Agora a sacada: se eu escolher (1 + 1)^n = sumk=0^n binomnk,1^,n-k,1^k = sumk=0^n binomnkcdot 1 cdot 1 = sumk=0^n binomnk e , cada termo fica bem simples:
Só sobrou a soma dos binomiais. Por outro lado, .

Resposta

boxedbinomn0 + binomn1 + cdots + binomnn ;=; 2^n

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