Questão 2 (2 pontos)
Encontrar todas as soluções de
, no intervalo
.
Encontrar todas as soluções de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções de
no intervalo
.
Informações dadas: a equação trigonométrica acima e o intervalo de busca .
O que precisamos devolver: todos os valores de em
que satisfazem a equação.
Informações dadas: a equação trigonométrica acima e o intervalo de busca
O que precisamos devolver: todos os valores de
Passo 2
Observação útil (identidade de periodicidade): a função seno tem período
, isto é,
para todo
. Vou usar isso para simplificar um dos termos. Note que
portanto, aplicando a periodicidade,
Passo 3
Substituindo a igualdade do passo anterior na equação original obtemos
Isso simplifica para
logo
Passo 4
Para resolver
é conveniente mudar de variável. Defina
Como
, temos
A equação fica então
com
restrito ao intervalo
.
Passo 5
Recordando onde o seno vale
no círculo trigonométrico: seno positivo igual a
ocorre nos ângulos do primeiro e do segundo quadrante correspondentes a
para inteiro
. Esta é a solução geral de
.
Passo 6
Agora escolhemos os valores de
que colocam
no intervalo
.
-
Para
: -
dá , que é menor que (não serve). -
dá . Verificar: é verdadeiro, logo serve. -
fora desses valores dá fora do intervalo considerado.
-
-
Para
: -
dá , e , logo serve. -
dá , que é maior ou igual a (na verdade ), então não serve.
-
Portanto os valores de
no intervalo são
Passo 7
Voltando à variável
usando
:
- Para
,
- Para
,
Ambos
e
estão no intervalo
.
Passo 8
Verificação rápida (para ficar tranquilo): para
temos
e, como mostrado, o segundo termo é igual ao primeiro, logo a soma é
. Mesma ideia para
.