Questão 2 (2 pontos)
Encontrar todas as soluções de \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\operatorname{sen}\left(x-\frac{3 \pi}{2}\right)=1, no intervalo [0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções de \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\operatorname{sen}\!\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=1 no intervalo [0,2\pi).
Informações dadas: a equação trigonométrica acima e o intervalo de busca [0,2\pi).
O que precisamos devolver: todos os valores de x em [0,2\pi) que satisfazem a equação.

Passo 2

Observação útil (identidade de periodicidade): a função seno tem período 2\pi, isto é,
\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}(\theta)
para todo \theta. Vou usar isso para simplificar um dos termos. Note que
x-\frac{3\pi}{2}=x+\frac{\pi}{2}-2\pi,
portanto, aplicando a periodicidade,
\operatorname{sen}\!\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}-2\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right).

Passo 3

Substituindo a igualdade do passo anterior na equação original obtemos
\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1.
Isso simplifica para
2\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1,
logo
\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Para resolver \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2} é conveniente mudar de variável. Defina
y = x+\frac{\pi}{2}.
Como x\in[0,2\pi), temos
y\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right).
A equação fica então
\operatorname{sen}(y)=\frac{1}{2},
com y restrito ao intervalo \left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right).

Passo 5

Recordando onde o seno vale \frac{1}{2} no círculo trigonométrico: seno positivo igual a \frac{1}{2} ocorre nos ângulos do primeiro e do segundo quadrante correspondentes a
y=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{ou}\quad y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,
para inteiro k. Esta é a solução geral de \operatorname{sen}(y)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora escolhemos os valores de k que colocam y no intervalo \left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right).
  • Para y=\frac{\pi}{6}+2k\pi:
    • k=0 y=\frac{\pi}{6}, que é menor que \frac{\pi}{2} (não serve).
    • k=1 y=\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}. Verificar: \frac{\pi}{2}\le\frac{13\pi}{6}<\frac{5\pi}{2} é verdadeiro, logo y=\frac{13\pi}{6} serve.
    • k fora desses valores dá y fora do intervalo considerado.
  • Para y=\frac{5\pi}{6}+2k\pi:
    • k=0 y=\frac{5\pi}{6}, e \frac{5\pi}{6}\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right), logo serve.
    • k=1 y=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}, que é maior ou igual a \frac{5\pi}{2} (na verdade \frac{17\pi}{6}>\frac{5\pi}{2}), então não serve.
Portanto os valores de y no intervalo são
y=\frac{5\pi}{6}\quad\text{e}\quad y=\frac{13\pi}{6}.

Passo 7

Voltando à variável x usando x=y-\frac{\pi}{2}:
  • Para y=\frac{5\pi}{6},
x=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi-3\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.
  • Para y=\frac{13\pi}{6},
x=\frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi-3\pi}{6}=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}.
Ambos x=\frac{\pi}{3} e x=\frac{5\pi}{3} estão no intervalo [0,2\pi).

Passo 8

Verificação rápida (para ficar tranquilo): para x=\frac{\pi}{3} temos \operatorname{sen}\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} e, como mostrado, o segundo termo é igual ao primeiro, logo a soma é 1. Mesma ideia para x=\frac{5\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}
\displaystyle \frac{5\pi}{3}

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