Um número real é chamado algébrico se for raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Mostre que \sqrt{2}+\sqrt{3} é algébrico.

Passo 1

O enunciado define número algébrico como raiz de polinômio com coeficientes inteiros. Vamos mostrar que \alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3} satisfaz um polinômio inteiro não-nulo.

Passo 2

Defina x=\sqrt{2}+\sqrt{3}. Isolamos uma raiz e quadramos:
x-\sqrt{2} = \sqrt{3}
(x-\sqrt{2})^2 = 3
x^2 -2x\sqrt{2} +2 = 3
x^2 -1 = 2x\sqrt{2}.

Passo 3

Isolamos \sqrt{2} e quadramos de novo:
\sqrt{2} = \frac{x^2 -1}{2x} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{x^2 -1}{2x}\Bigr)^2 = 2
\frac{(x^2 -1)^2}{4x^2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad (x^2 -1)^2 = 8x^2
x^4 -2x^2 +1 -8x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^4 -10x^2 +1 = 0.

Resposta

\sqrt{2}+\sqrt{3} é raiz do polinômio \,x^4 -10x^2 +1, logo é algébrico.

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