Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
  1. Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
  2. Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
    Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
    j) (0,1217)_{10}

Passo 1

O enunciado dá o número (0,1217)_{10} (ou seja, a parte fracionária 0,1217 em base decimal) e pede a conversão para a notação binária.
Informações dadas:
  • Número decimal: (0,1217)_{10}.
    O que é pedido:
  • Converter (0,1217)_{10} para sua representação em base 2, mostrando todos os passos intermédios.

Passo 2

Explicação didática do método (regra que vamos usar).
Para converter uma parte fracionária x em [0,1) da base decimal para binário, usa-se o método das multiplicações sucessivas por 2:
  • Multiplica-se x por 2.
  • A parte inteira do produto ( 0 ou 1) é o primeiro dígito binário depois da vírgula.
  • A nova parte fracionária (o resto) é novamente multiplicada por 2 para obter o próximo dígito, e assim por diante.
Em fórmulas: se obtivermos bits b_1,b_2,b_3,\dots então
x = \sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k},
onde cada b_k\in\{0,1\} é a parte inteira de 2 vezes a parte fracionária restante no passo k-1.
Observação importante sobre término: escrevendo 0,1217 = \dfrac{1217}{10000}. Como 10000=2^4\cdot5^4 e \gcd(1217,10000)=1 (note que 1217 é ímpar e não divisível por 5), a fração reduzida tem denominador com fatores de 5. Para a expansão em base 2 terminar seria necessário que, após simplificar, o denominador fosse potência de 2. Como há fatores de 5, a expansão em binário será infinita (não-terminante) — ou seja, repetirá/periódica em base 2. Portanto vamos obter uma expansão infinita; na prática truncamos depois de muitos bits para obter aproximação com precisão controlada.

Passo 3

Aplicando o método das multiplicações por 2 passo a passo. Vou mostrar cada multiplicação, o dígito binário gerado e a nova parte fracionária. Começo com x_0 = 0,1217.
  1. 0,1217\times2 = 0,2434 → bit b_1=0, resto 0,2434.
  2. 0,2434\times2 = 0,4868 → bit b_2=0, resto 0,4868.
  3. 0,4868\times2 = 0,9736 → bit b_3=0, resto 0,9736.
  4. 0,9736\times2 = 1,9472 → bit b_4=1, resto 0,9472.
  5. 0,9472\times2 = 1,8944 → bit b_5=1, resto 0,8944.
  6. 0,8944\times2 = 1,7888 → bit b_6=1, resto 0,7888.
  7. 0,7888\times2 = 1,5776 → bit b_7=1, resto 0,5776.
  8. 0,5776\times2 = 1,1552 → bit b_8=1, resto 0,1552.
  9. 0,1552\times2 = 0,3104 → bit b_9=0, resto 0,3104.
  10. 0,3104\times2 = 0,6208 → bit b_{10}=0, resto 0,6208.
  11. 0,6208\times2 = 1,2416 → bit b_{11}=1, resto 0,2416.
  12. 0,2416\times2 = 0,4832 → bit b_{12}=0, resto 0,4832.
  13. 0,4832\times2 = 0,9664 → bit b_{13}=0, resto 0,9664.
  14. 0,9664\times2 = 1,9328 → bit b_{14}=1, resto 0,9328.
  15. 0,9328\times2 = 1,8656 → bit b_{15}=1, resto 0,8656.
  16. 0,8656\times2 = 1,7312 → bit b_{16}=1, resto 0,7312.
  17. 0,7312\times2 = 1,4624 → bit b_{17}=1, resto 0,4624.
  18. 0,4624\times2 = 0,9248 → bit b_{18}=0, resto 0,9248.
  19. 0,9248\times2 = 1,8496 → bit b_{19}=1, resto 0,8496.
  20. 0,8496\times2 = 1,6992 → bit b_{20}=1, resto 0,6992.
  21. 0,6992\times2 = 1,3984 → bit b_{21}=1, resto 0,3984.
  22. 0,3984\times2 = 0,7968 → bit b_{22}=0, resto 0,7968.
  23. 0,7968\times2 = 1,5936 → bit b_{23}=1, resto 0,5936.
  24. 0,5936\times2 = 1,1872 → bit b_{24}=1, resto 0,1872.
  25. 0,1872\times2 = 0,3744 → bit b_{25}=0, resto 0,3744.
  26. 0,3744\times2 = 0,7488 → bit b_{26}=0, resto 0,7488.
  27. 0,7488\times2 = 1,4976 → bit b_{27}=1, resto 0,4976.
  28. 0,4976\times2 = 0,9952 → bit b_{28}=0, resto 0,9952.
  29. 0,9952\times2 = 1,9904 → bit b_{29}=1, resto 0,9904.
  30. 0,9904\times2 = 1,9808 → bit b_{30}=1, resto 0,9808.
(É possível continuar mais passos, mas com 30 bits já se obtém boa aproximação; posso continuar se desejar ainda mais precisão.)

Passo 4

Juntando os bits obtidos: os primeiros 30 bits após a vírgula são
b_1b_2\ldots b_{30} = 0001111100\;1001111011\;1011001011.
Portanto, a representação em binário, aproximada/truncada aos 30 primeiros bits, é
\left(0,000111110010011110111011001011\ldots\right)_2.
Lembrete: o “ \ldots” indica que a expansão continua indefinidamente (não termina) porque, como explicado, o denominador reduzido da fração decimal tem fatores de 5.

Passo 5

Estimativa de erro ao truncar: truncando após n bits, o erro absoluto máximo é menor que 2^{-n}. Assim, truncando após 30 bits, o erro é <2^{-30}\approx 9{,}31\times10^{-10}. Ou seja, a aproximação com 30 bits dá mais de 9 casas decimais corretas, suficiente para a maioria das aplicações práticas.

Resposta

\left(0,000111110010011110111011001011\ldots\right)_{2}

Exercícios relacionados