Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
- Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
- Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
j)
Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
j)
Passo 1
O enunciado dá o número
(ou seja, a parte fracionária
em base decimal) e pede a conversão para a notação binária.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Número decimal:
.
O que é pedido: - Converter
para sua representação em base 2, mostrando todos os passos intermédios.
Passo 2
Explicação didática do método (regra que vamos usar).
Para converter uma parte fracionária em
da base decimal para binário, usa-se o método das multiplicações sucessivas por 2:
Para converter uma parte fracionária
- Multiplica-se
por . - A parte inteira do produto (
ou ) é o primeiro dígito binário depois da vírgula. - A nova parte fracionária (o resto) é novamente multiplicada por
para obter o próximo dígito, e assim por diante.
Em fórmulas: se obtivermos bits
então
onde cada
é a parte inteira de
vezes a parte fracionária restante no passo
.
Observação importante sobre término: escrevendo
. Como
e
(note que
é ímpar e não divisível por
), a fração reduzida tem denominador com fatores de
. Para a expansão em base
terminar seria necessário que, após simplificar, o denominador fosse potência de
. Como há fatores de
, a expansão em binário será infinita (não-terminante) — ou seja, repetirá/periódica em base 2. Portanto vamos obter uma expansão infinita; na prática truncamos depois de muitos bits para obter aproximação com precisão controlada.
Passo 3
Aplicando o método das multiplicações por
passo a passo. Vou mostrar cada multiplicação, o dígito binário gerado e a nova parte fracionária. Começo com
.
-
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto . -
→ bit , resto .
(É possível continuar mais passos, mas com 30 bits já se obtém boa aproximação; posso continuar se desejar ainda mais precisão.)
Passo 4
Juntando os bits obtidos: os primeiros 30 bits após a vírgula são
Portanto, a representação em binário, aproximada/truncada aos 30 primeiros bits, é
Lembrete: o “
” indica que a expansão continua indefinidamente (não termina) porque, como explicado, o denominador reduzido da fração decimal tem fatores de
.
Passo 5
Estimativa de erro ao truncar: truncando após
bits, o erro absoluto máximo é menor que
. Assim, truncando após
bits, o erro é
. Ou seja, a aproximação com 30 bits dá mais de 9 casas decimais corretas, suficiente para a maioria das aplicações práticas.