Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
  1. Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
  2. Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
    Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
    o) (1001,1)_{10}(para ser entregue)

Passo 1

O enunciado dá o número (1001,1)_{10} (vírgula decimal usada pelo enunciado) e pede a conversão para a base binária.
Informações relevantes que temos:
  • A parte inteira é \,1001\, (decimal).
  • A parte fracionária é \,0,1\, (decimal).
    Portanto devemos converter separadamente a parte inteira \,1001_{10} e a parte fracionária , 0,1_{10} para binário e então juntar os resultados.

Passo 2

Como converter a parte inteira (aula rápida e método):
  • Regra: para converter um inteiro decimal para binário, divide-se repetidamente por 2 e anota-se o resto de cada divisão. Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam a representação binária.
  • Motivo curto: cada resto corresponde ao coeficiente do termo 2^k na expansão binária.
Agora aplico o método à parte inteira \,1001.
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 1001 \div 2 &=& 500\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\[2pt] 500 \div 2 &=& 250,\\ \text{resto }0\\[2pt] 250 \div 2 &=& 125,\\ \text{resto }0\\[2pt] 125 \div 2 &=& 62,\\ \text{resto }1\\[2pt] 62 \div 2 &=& 31,\\ \text{resto }0\\[2pt] 31 \div 2 &=& 15,\\ \text{resto }1\\[2pt] 15 \div 2 &=& 7,\\ \text{resto }1\\[2pt] 7 \div 2 &=& 3,\\ \text{resto }1\\[2pt] 3 \div 2 &=& 1,\\ \text{resto }1\\[2pt] 1 \div 2 &=& 0,\\ \text{resto }1 \end{array}
Os restos, lidos do último para o primeiro, são:
1,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1.
Logo a parte inteira em binário é
(1111101001)_2.
Verificação rápida (somando potências de 2):
\begin{aligned} (1111101001)_2 &=& 2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{3}+2^{0}\\[2pt] &=& 512+256+128+64+32+8+1\\[2pt] &=& 1001, \end{aligned}
confirmando que a conversão da parte inteira está correta.]

Passo 3

Como converter a parte fracionária (aula rápida e método):
  • Regra: para converter uma fração decimal entre 0 e 1 para binário, multiplica-se a fração por 2. O inteiro da multiplicação (0 ou 1) é o primeiro dígito binário fracionário; em seguida repete-se o processo com a nova parte fracionária. Se em algum momento a parte fracionária se repetir, a sequência de bits também vai repetir (expansão periódica).
  • Motivo curto: multiplicar por 2 desloca os dígitos binários uma casa à esquerda; o inteiro obtido em cada passo é o dígito que saiu à esquerda.
Agora aplico o método a \,0,1_{10} = \tfrac{1}{10}.
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 0,1\times 2 &=& 0,2 \quad\Rightarrow\\ \text{bit }0,\\ \text{nova frac }0,2\\[2pt] 0,2\times 2 &=& 0,4 \quad\Rightarrow\\ \text{bit }0,\\ \text{nova frac }0,4\\[2pt] 0,4\times 2 &=& 0,8 \quad\Rightarrow\\ \text{bit }0,\\ \text{nova frac }0,8\\[2pt] 0,8\times 2 &=& 1,6 \quad\Rightarrow\\ \text{bit }1,\\ \text{nova frac }0,6\\[2pt] 0,6\times 2 &=& 1,2 \quad\Rightarrow\\ \text{bit }1,\\ \text{nova frac }0,2 \end{array}
Observação importante: apareceu novamente a parte fracionária \,0,2 (que já apareceu no segundo passo). Isso indica que os dígitos a partir desse ponto vão repetir com período 4 (os estados de fração que aparecem entre repetições definem o ciclo). Os bits obtidos, em ordem, foram:
b_1=0,\\ b_2=0,\\ b_3=0,\\ b_4=1,\\ b_5=1,\\ b_6=0,\\ b_7=0,\\ b_8=1,\\ b_9=1,\\ \ldots
Ou seja, há um dígito inicial fora do ciclo ( b_1=0) e depois um bloco repetido de 4 bits 0011 que se repete indefinidamente. Assim a parte fracionária em binário é
\bigl(0,\,0\overline{0011}\bigr)_2,
onde a barra sobre \,0011 indica que o bloco 0011 se repete.]

Passo 4

Prova curta (para ficar seguro) de que a parte fracionária vale exatamente \tfrac{1}{10}:
Defina y como a parte fracionária binária encontrada:
y = 0,0\overline{0011}_2.
Multiplicando por 2 para eliminar o dígito inicial fora do período:
2y = 0.\overline{0011}_2.
Agora o bloco repetitivo tem comprimento 4. Se chamarmos z=2y então
16z = 3 + z,
porque deslocar 4 casas (multiplicar por 16) transforma a parte repetida em um inteiro igual ao valor do bloco binário 0011_2, que é 0\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 3. Da equação acima:
15z = 3 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}.
Portanto
y = \frac{z}{2} = \frac{1}{10},
confirmando que a expansão binária encontrada é exatamente a representação de \,0,1_{10}.

Passo 5

Juntando parte inteira e parte fracionária, a representação binária completa de (1001,1)_{10} é
\bigl(1111101001,\;0\overline{0011}\bigr)_2.

Resposta

(1111101001,0\overline{0011})_2

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