Os números a seguir estão representados nos sistemas decimal ou binário. Para cada número, realize a conversão conforme especificado:
  1. Se o número estiver representado no sistema decimal, converta-o para a notação binária.
  2. Se o número estiver representado no sistema binário, converta-o para a notação decimal.
    Realize as conversões com precisão e mostre todos os passos intermediários utilizados no processo de conversão. A lista de números é a seguinte:
    r) (2,4375)_{10}

Passo 1

O enunciado nos dá o número (2,4375)_{10} (representado no sistema decimal) e pede para convertê-lo para notação binária.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número é decimal: 2,4375.
  • Podemos separar em parte inteira e parte fracionária: 2,4375 = 2 + 0,4375.
    O objetivo é expressar 2,4375 na base 2, ou seja, encontrar (\ldots)_{2} equivalente.

Passo 2

Converter a parte inteira 2 para binário (método: divisões sucessivas por 2). Explicação curta do método: divide-se o número inteiro por 2, anota-se o resto (0 ou 1); repete-se com o quociente até o quociente ser 0; os restos lidos de baixo para cima dão os dígitos binários da parte inteira.
Aplicando:
\begin{array}{l} 2 \div 2 = 1 \text{ com resto } 0,\\[2pt] 1 \div 2 = 0 \text{ com resto } 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos a parte inteira em binário: 2_{10} = (10)_2.]

Passo 3

Converter a parte fracionária 0,4375 para binário (método: multiplicações sucessivas por 2). Explicação do método: multiplica-se a parte fracionária por 2; a parte inteira do produto (0 ou 1) é o próximo dígito binário após a vírgula; repete-se com a nova parte fracionária até que ela seja 0 ou até obter precisão desejada.
Aplicando, passo a passo:
\begin{array}{l} 0,4375 \times 2 = 0,875 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 0,\\ \text{nova fracção} = 0,875,\\[4pt] 0,875 \times 2 = 1,75 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 1,\\ \text{nova fracção} = 0,75,\\[4pt] 0,75 \times 2 = 1,5 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 1,\\ \text{nova fracção} = 0,5,\\[4pt] 0,5 \times 2 = 1,0 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 1,\\ \text{nova fracção} = 0. \end{array}íçãíçãíçãíçã
Como a nova fração chegou a 0, o processo termina. Os dígitos coletados, na ordem, são 0,1,1,1. Portanto a parte fracionária em binário é (,0111)_2.]

Passo 4

Juntando parte inteira e parte fracionária, o número em binário é
(2,4375)_{10} = (10,0111)_2.

Passo 5

Verificação (conversão inversa) para confirmar: expressar (10,0111)_2 em decimal.
(10,0111)_2 = 1\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0} + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4}.
Calcular cada termo:
1\cdot 2^{1}=2,\qquad 0\cdot 2^{0}=0,
0\cdot 2^{-1}=0,\qquad 1\cdot 2^{-2}=\tfrac{1}{4}=0,25,
1\cdot 2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0,125,\qquad 1\cdot 2^{-4}=\tfrac{1}{16}=0,0625.
Somando as parcelas:
2 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 2 + 0,4375 = 2,4375,
o que confirma que a conversão está correta.

Resposta

(10,0111)_2

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