a) Use a eliminação de Gauss para decompor o seguinte sistema
\begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =27 \\\\ -3 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3} & =-61.5 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3} & =-21.5 \end{aligned}
Em seguida, multiplique as matrizes resultantes [\mathrm{L}] \mathrm{e}[\mathrm{U}] para determinar que a matriz [A] é obtida. b) Use a fatoração LU para resolver o sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{aligned} 10x_{1}+2x_{2}-x_{3} &= 27,\\\\ -3x_{1}-6x_{2}+2x_{3} &= -61{,}5,\\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3} &= -21{,}5, \end{aligned}
e pede duas coisas:
  1. Fazer a eliminação de Gauss para obter a fatoração [A]=[L][U] e, em seguida, multiplicar [L] e [U] para confirmar que volta-se a obter [A].
  2. Usar a fatoração LU encontrada para resolver o sistema (isto é, encontrar x_{1},x_{2},x_{3}).
As informações relevantes são as entradas da matriz dos coeficientes (a matriz A) e o vetor do termo independente b=(27,\,-61{,}5,\,-21{,}5)^{T}. A resolução começa por aplicar eliminação de Gauss sem permutações de linha (pivot principal 10 na primeira etapa).

Passo 2

Breve explicação prática antes de calcular: eliminação de Gauss transforma A em uma matriz triangular superior U usando operações do tipo R_{i}\leftarrow R_{i}-m_{i1}R_{1}. Os multiplicadores m_{ij} usados para zerar entradas ficam guardados na matriz L (com 1s na diagonal). Assim obtemos A=L\,U. Vou executar passo a passo as eliminações e anotar os multiplicadores.
Começamos com a matriz aumentada [A\,|\,b]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 10 & 2 & -1 & 27\\[4pt] -3 & -6 & 2 & -61{,}5\\[4pt] 1 & 1 & 5 & -21{,}5 \end{array}\right]
Pivot na primeira linha: \,u_{11}=10. Calculamos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{-3}{10}=-\frac{3}{10},\qquad m_{31}=\frac{1}{10}=\frac{1}{10}.
Aplicamos as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}.
Vou calcular cada entrada resultante explicitamente.]

Passo 3

Cálculo de R_{2} após a operação R_{2}-m_{21}R_{1}:
\begin{aligned} \text{novo }R_{2,1}&=-3 - \left(-\tfrac{3}{10}\right)\cdot 10 = -3 + 3 = 0,\\[4pt] \text{novo }R_{2,2}&=-6 - \left(-\tfrac{3}{10}\right)\cdot 2 = -6 + \tfrac{6}{10} = -6 + 0{,}6 = -5{,}4 = -\tfrac{27}{5},\\[4pt] \text{novo }R_{2,3}&=2 - \left(-\tfrac{3}{10}\right)\cdot (-1) = 2 - \tfrac{3}{10} = 1{,}7 = \tfrac{17}{10},\\[4pt] \text{novo }b_{2}&=-61{,}5 - \left(-\tfrac{3}{10}\right)\cdot 27 = -61{,}5 + 8{,}1 = -53{,}4 = -\tfrac{267}{5}. \end{aligned}
Cálculo de R_{3} após a operação R_{3}-m_{31}R_{1}:
\begin{aligned} \text{novo }R_{3,1}&=1 - \tfrac{1}{10}\cdot 10 = 1-1=0,\\[4pt] \text{novo }R_{3,2}&=1 - \tfrac{1}{10}\cdot 2 = 1-0{,}2=0{,}8,\\[4pt] \text{novo }R_{3,3}&=5 - \tfrac{1}{10}\cdot(-1)=5+0{,}1=5{,}1=\tfrac{51}{10},\\[4pt] \text{novo }b_{3}&=-21{,}5 - \tfrac{1}{10}\cdot 27 = -21{,}5 - 2{,}7 = -24{,}2 = -\tfrac{121}{5}. \end{aligned}
Após a primeira etapa, a matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 10 & 2 & -1 & 27\\[4pt] 0 & -\tfrac{27}{5} & \tfrac{17}{10} & -53{,}4\\[4pt] 0 & 0{,}8 & 5{,}1 & -24{,}2 \end{array}\right].
Agora pivot na segunda linha: u_{22}=-\tfrac{27}{5}. Calculamos o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
m_{32}=\frac{0{,}8}{-\tfrac{27}{5}}=\frac{0{,}8}{-5{,}4}=-\frac{4}{27}\quad(\text{observe que }0{,}8=\tfrac{4}{5},\; -5{,}4=-\tfrac{27}{5}).
Aplicamos a operação R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}.]

Passo 4

Cálculo do terceiro pivô após eliminar a entrada (3,2):
\begin{aligned} \text{novo }R_{3,2}&=0{,}8 - m_{32}\cdot\left(-\tfrac{27}{5}\right) = 0{,}8 - \left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot\left(-\tfrac{27}{5}\right) =0{,}8 - \tfrac{4}{5} = 0,\\[6pt] \text{novo }R_{3,3}&=5{,}1 - m_{32}\cdot \tfrac{17}{10} = \tfrac{51}{10} -\left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot\tfrac{17}{10} = \tfrac{51}{10} + \tfrac{68}{270} = \tfrac{289}{54}\approx 5{,}351851\ldots,\\[6pt] \text{novo }b_{3}&=-24{,}2 - m_{32}\cdot(-53{,}4) = -\tfrac{121}{5} - \left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot\left(-\tfrac{267}{5}\right) = -\tfrac{121}{5} - \tfrac{356}{45} = -\tfrac{289}{9}\approx -32{,}11111\ldots. \end{aligned}
Portanto a matriz triangular superior U (as entradas acima ficam em U) é
U=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -\tfrac{27}{5} & \tfrac{17}{10}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{289}{54} \end{pmatrix}.
E a matriz L (com 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo) é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{3}{10} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{10} & -\tfrac{4}{27} & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora confirmamos que [L][U]=[A]. Vou mostrar o cálculo das entradas principais (produto linha × coluna):
  • Primeira linha de L vezes U dá a primeira linha de U, portanto
(LU)_{1,:}=(10,\;2,\;-1),
igual à primeira linha de A.
  • Segunda linha de L é \left(-\tfrac{3}{10},\;1,\;0\right). Multiplicando por U:
\begin{aligned} (LU)_{2,1}&=-\tfrac{3}{10}\cdot 10 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = -3,\\[4pt] (LU)_{2,2}&=-\tfrac{3}{10}\cdot 2 + 1\cdot\left(-\tfrac{27}{5}\right) = -\tfrac{6}{10} - \tfrac{27}{5} = -6,\\[4pt] (LU)_{2,3}&=-\tfrac{3}{10}\cdot(-1) + 1\cdot \tfrac{17}{10} = \tfrac{3}{10}+\tfrac{17}{10}=2. \end{aligned}
Isso reproduz a segunda linha de A: (-3,\,-6,\,2).
  • Terceira linha de L é \left(\tfrac{1}{10},\;-\tfrac{4}{27},\;1\right). Multiplicando por U:
\begin{aligned} (LU)_{3,1}&=\tfrac{1}{10}\cdot 10 + \left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot 0 + 1\cdot 0 = 1,\\[4pt] (LU)_{3,2}&=\tfrac{1}{10}\cdot 2 + \left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot\left(-\tfrac{27}{5}\right) = \tfrac{2}{10} + \tfrac{4}{5}=1,\\[4pt] (LU)_{3,3}&=\tfrac{1}{10}\cdot (-1) + \left(-\tfrac{4}{27}\right)\cdot \tfrac{17}{10} + 1\cdot \tfrac{289}{54} = 5. \end{aligned}
Isso reproduz a terceira linha (1,\,1,\,5) de A. Logo [L][U]=[A] confirmado.]

Passo 6

Agora vamos resolver o sistema usando a fatoração A=LU. Primeiro resolvemos Ly=b (substituição progressiva), depois Ux=y (substituição regressiva).
Escrevemos b como
b=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-61{,}5\\[4pt]-21{,}5\end{pmatrix}.
Equações de Ly=b com L dado:
\begin{aligned} y_{1} &= 27,\\[4pt] -\tfrac{3}{10}y_{1}+y_{2} &= -61{,}5,\\[4pt] \tfrac{1}{10}y_{1}-\tfrac{4}{27}y_{2}+y_{3} &= -21{,}5. \end{aligned}
Calculamos passo a passo:
  • y_{1}=27.
  • Substituindo em segunda equação:
y_{2} = -61{,}5 + \tfrac{3}{10}\cdot 27 = -61{,}5 + 8{,}1 = -53{,}4.
  • Substituindo y_{1} e y_{2} na terceira:
\begin{aligned} y_{3} &= -21{,}5 - \tfrac{1}{10}\cdot 27 + \tfrac{4}{27}\cdot (-53{,}4)\\[4pt] &= -21{,}5 - 2{,}7 - 7{,}911111\ldots = -32{,}111111\ldots = -\tfrac{289}{9}. \end{aligned}
Assim
y=\begin{pmatrix}27\\[4pt]-53{,}4\\[4pt]-\tfrac{289}{9}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora resolvemos Ux=y por substituição regressiva. As equações (da última para a primeira):
\begin{aligned} \tfrac{289}{54}x_{3} &= -\tfrac{289}{9},\\[4pt] -\tfrac{27}{5}x_{2} + \tfrac{17}{10}x_{3} &= -53{,}4,\\[4pt] 10x_{1} + 2x_{2} - x_{3} &= 27. \end{aligned}
Resolvendo:
  • Da terceira equação triangular (terceira linha de U):
x_{3} = \frac{-\tfrac{289}{9}}{\tfrac{289}{54}} = -\frac{289}{9}\cdot\frac{54}{289} = -\frac{54}{9} = -6.
  • Substituindo x_{3}=-6 na segunda equação:
-\tfrac{27}{5}x_{2} + \tfrac{17}{10}\cdot(-6) = -53{,}4.
Calcule \tfrac{17}{10}\cdot(-6)=-\tfrac{102}{10}=-10{,}2. Então
-\tfrac{27}{5}x_{2} = -53{,}4 + 10{,}2 = -43{,}2.
Logo
x_{2} = \frac{-43{,}2}{-\tfrac{27}{5}} = \frac{43{,}2\cdot 5}{27} = 8.
  • Substituindo x_{2}=8 e x_{3}=-6 na primeira equação:
10x_{1} + 2\cdot 8 - (-6) = 27 \quad\Rightarrow\quad 10x_{1} + 16 + 6 = 27,
logo
10x_{1} = 5 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5.
Portanto a solução final é x_{1}=\tfrac{1}{2},\;x_{2}=8,\;x_{3}=-6.]

Resposta

a) L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{3}{10} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{10} & -\tfrac{4}{27} & 1 \end{pmatrix} \qquad U=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -\tfrac{27}{5} & \tfrac{17}{10}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{289}{54} \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad LU=A.
b) x_{1}=\tfrac{1}{2},\qquad x_{2}=8,\qquad x_{3}=-6.]

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