Observação para os exercícios de 1 a 3 faça utilizando o Interpolação Linear e para os exercícios de 4 a 6 facautilizando Interpolação Quadrática em ambos utilize o intervalo de
Na aula achamos uma aproximação para uma raiz de f(x)=e^{x}-x^{2} no intervalo [-1,0] e encontramos que \mathrm{f}(-070313)=000064.
Considere a função acima e os valores de x:
x_{1}=-1 ; x_{2}=-0,5 ; x_{3}=0
a) Obtenha um polinômio interpolador, \mathrm{p}(\mathrm{x}), de grau 2 , para \mathrm{f}(\mathrm{x}) e -1 \leq x \leq 0.
b) Calcule o erro E(x)=f(x)-p(x) para x=-0,70313.
c) Ache as raízes de \mathrm{p}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado pede interpolar a função
f(x) = e^{x} - x^{2}
no intervalo [-1,0] usando os pontos
x_{1} = -1,\quad x_{2} = -0,5,\quad x_{3} = 0.
Vamos obter (a) o polinômio interpolador de grau 2 p(x) por diferenças divididas (Interpolação Quadrática), (b) o erro E(x)=f(x)-p(x) em x=-0,70313 sabendo que f(-0,70313)=0,000064, e (c) as raízes de p(x).

Passo 2

Calculamos primeiro os valores de f e as diferenças divididas:
f(x_{1})=f(-1)=e^{-1}-1 \approx -0,6321206,
f(x_{2})=f(-0,5)=e^{-0,5}-0,25 \approx 0,3565307,
f(x_{3})=f(0)=1.
As diferenças divididas de primeira ordem são
f[x_{1},x_{2}] =\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =\frac{0,3565307-(-0,6321206)}{0,5} \approx 1,9773026,
f[x_{2},x_{3}] =\frac{1-0,3565307}{0,5} \approx 1,2869386.
A diferença dividida de segunda ordem é
f[x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{f[x_{2},x_{3}]-f[x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{1}} =\frac{1,2869386-1,9773026}{1} \approx -0,6903640.

Passo 3

O polinômio de Newton é
p(x) =f(x_{1}) +f[x_{1},x_{2}](x+1) +f[x_{1},x_{2},x_{3}](x+1)(x+0,5).
Substituindo os coeficientes:
p(x) =-0,6321206 +1,9773026\,(x+1) -0,6903640\,(x+1)(x+0,5).
Expandindo para a forma padrão ax^{2}+bx+c, obtém-se
p(x)=-0,690364\,x^{2}+0,941757\,x+1.

Passo 4

Para x=-0,70313, temos f(-0,70313)=0,000064 (dado) e
p(-0,70313) \approx -0,690364\,( -0,70313)^{2} +0,941757\,( -0,70313)+1 \approx -0,003830.
Logo o erro é
E(-0,70313) =f(-0,70313)-p(-0,70313) \approx 0,000064 -(-0,003830) \approx 0,003894.

Passo 5

As raízes de p(x) resolvem
-0,690364\,x^{2}+0,941757\,x+1=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
\Delta =(0,941757)^{2}-4\cdot(-0,690364)\cdot1 \approx 3,649363, \quad\sqrt{\Delta}\approx 1,911393,
x =\frac{-0,941757\pm1,911393}{2\cdot(-0,690364)}
\Rightarrow x_{1}\approx -0,7026,\quad x_{2}\approx 2,0660.

Resposta

(a) p(x)=-0,690364\,x^{2}+0,941757\,x+1.
(b) E(-0,70313)\approx 0,003894.
(c) As raízes são aproximadamente \,x\approx -0,7026 e \,x\approx 2,0660.

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