Seja f(x) uma função continua em [a, b], para a qual existe um polinômio algébrico de grau n que satisfaz
max x in[a, b]|f(x)-P(x)| <= E
onde E>0. Sejam x0 pontos arbitrários de [a, b] e
lambda(x):=sumk=0^n|ln k(x)|
a função de Lebesgue para estes pontos. Provar que
|f(x)-Ln(f ; x)| <=(1+lambda(x)) E, x in[a, b]

Passo 1

Vamos recapitular o que a questão pede: temos uma função contínua f em [a,b] e um polinômio P de grau <= n que aproxima f com erro no máximo E, ou seja, maxxin[a,b]|f(x)-P(x)|<= E. Também definimos o operador de interpolação de Lagrange Ln(f;x)=sumk=0^n f(xk),lnk(x) e a função de Lebesgue lambda(x)=sumk=0^n|lnk(x)|. Queremos mostrar que para todo xin[a,b]

Passo 2

O ponto-chave é lembrar que o operador de interpolação reproduz todo polinômio de grau <= n. Em outras palavras, se Q é um polinômio com deg Q<= n, então Ln(Q;x)=Q(x). Isso ocorre porque Ln(Q;xk)=Q(xk) para cada nó e o interpolador é único.

Passo 3

Escrevemos a diferença que nos interessa e usamos linearidade de Ln:
f(x)-Ln(f;x)=f(x)-P(x)+Ln(P;x)-Ln(f;x)
Como Ln(P;x)=P(x), isso vira
f(x)-Ln(f;x)=l(f(x)-P(x)r)-Lnl(f-P,;xr)

Passo 4

Agora aplicamos a desigualdade triangular:
|f(x)-Ln(f;x)|<= |f(x)-P(x)|+l|Ln(f-P,;x)r|
Pelo enunciado, |f(x)-P(x)|<= E. Para o segundo termo, usando a forma da interpolação:
Ln(f-P,;x)=sumk=0^nl(f(xk)-P(xk)r),lnk(x)
e, portanto,
l|Ln(f-P,;x)r|<=sumk=0^n|f(xk)-P(xk)|,|lnk(x)|<= Esumk=0^n|lnk(x)|=E,lambda(x)

Passo 5

Juntando as duas estimativas, obtemos:
|f(x)-Ln(f;x)|<= E + E,lambda(x)=(1+lambda(x)),E,
o que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

|f(x)-Ln(f;x)|<=(1+lambda(x)),E, xin[a,b]

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