Seja uma função continua em , para a qual existe um polinômio algébrico de grau que satisfaz
onde . Sejam pontos arbitrários de
a função de Lebesgue para estes pontos. Provar que
Passo 1
Vamos recapitular o que a questão pede: temos uma função contínua em e um polinômio de grau que aproxima com erro no máximo , ou seja, . Também definimos o operador de interpolação de Lagrange e a função de Lebesgue . Queremos mostrar que para todo
Passo 2
O ponto-chave é lembrar que o operador de interpolação reproduz todo polinômio de grau . Em outras palavras, se é um polinômio com , então . Isso ocorre porque para cada nó e o interpolador é único.
Passo 3
Escrevemos a diferença que nos interessa e usamos linearidade de :
Como , isso vira
Passo 4
Agora aplicamos a desigualdade triangular:
Pelo enunciado, |f(x)-P(x)|<= E. Para o segundo termo, usando a forma da interpolação: