Questão 4: Suponha que sejam fornecidos valores tabelados \left(x_{k}, f\left(x_{k}\right)\right) para uma dada função e busca-se ajustar uma curva \varphi(x) a esses dados utilizando o método dos mínimos quadrados para o ajuste de curva. Qual é a estratégia de linearização deve ser adotada se \varphi(x) tem a forma dada a seguir:
a) \varphi(x)=\alpha_{1} e^{\alpha_{2} x}

Passo 1

O enunciado fornece dados tabelados \{(x_k,f(x_k))\}_{k=1}^n e pede para ajustar a curva
\varphi(x)=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}
pelo método dos mínimos quadrados. O conteúdo aqui é ajuste de modelo não-linear que pode ser transformado num problema de regressão linear via linearização.

Passo 2

Reconhecemos que, se \varphi(x)=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}, bastaria aplicar logaritmo natural para obter
\ln\bigl(\varphi(x)\bigr)=\ln(\alpha_{1})+\alpha_{2}\,x.
Definimos então variáveis transformadas.

Passo 3

Tomamos
Y_k = \ln\bigl(f(x_k)\bigr),
e escrevemos o modelo linear
Y_k = \beta_0 + \beta_1\,x_k + \varepsilon_k,
onde \beta_0 = \ln(\alpha_{1}) e \beta_1=\alpha_{2}. Agora aplicamos mínimos quadrados lineares para estimar \beta_0 e \beta_1.

Passo 4

As equações normais para ajustar Y_k em função de x_k são
\sum_{k=1}^n Y_k = n\,\beta_0 + \beta_1\sum_{k=1}^n x_k,
\sum_{k=1}^n x_kY_k = \beta_0\sum_{k=1}^n x_k + \beta_1\sum_{k=1}^n x_k^2.
Resolvendo esse sistema, obtemos \beta_0 e \beta_1; em seguida recuperamos
\alpha_{1} = e^{\beta_0}, \quad \alpha_{2} = \beta_1.

Resposta

A estratégia de linearização é aplicar o logaritmo natural aos valores f(x_k), definindo Y_k=\ln(f(x_k)), de modo que o modelo se torne
Y_k = \ln(\alpha_{1}) + \alpha_{2}\,x_k
e possa ser ajustado por regressão linear.

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