Questão 4: Suponha que sejam fornecidos valores tabelados \left(x_{k}, f\left(x_{k}\right)\right) para uma dada função e busca-se ajustar uma curva \varphi(x) a esses dados utilizando o método dos mínimos quadrados para o ajuste de curva. Qual é a estratégia de linearização deve ser adotada se \varphi(x) tem a forma dada a seguir:
c) \varphi(x)=\frac{x}{\alpha_{1}+\alpha_{2} x}

Passo 1

O enunciado fornece dados (x_{k},f(x_{k})) e pede para ajustar o modelo
\varphi(x)=\frac{x}{\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x}
pelo método dos mínimos quadrados. O conteúdo aqui é ajuste de curva não linear e a técnica que vamos usar é transformar o modelo em um problema de regressão linear (linearização).

Passo 2

Observamos que, se invertermos \varphi(x), temos
\frac{1}{\varphi(x)} \;=\;\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x}{x} \;=\;\alpha_{1}\,\frac{1}{x}\;+\;\alpha_{2}.
Isso sugere definir variáveis transformadas para obter um modelo linear em \alpha_{1} e \alpha_{2}.

Passo 3

Definimos
y_{k} = \frac{1}{f(x_{k})} \quad\text{e}\quad u_{k} = \frac{1}{x_{k}}.
O modelo torna-se então
y_{k} \approx \alpha_{1}\,u_{k} \;+\;\alpha_{2},
que é um problema de regressão linear com intercepto \alpha_{2} e coeficiente angular \alpha_{1}.

Passo 4

Aplicamos mínimos quadrados ao par \bigl(u_{k},y_{k}\bigr). Ou seja, encontramos \alpha_{1} e \alpha_{2} que minimizam
\sum_{k}\bigl(y_{k} - (\alpha_{1}u_{k}+\alpha_{2})\bigr)^{2}.
Feito isso, os valores estimados \hat\alpha_{1},\hat\alpha_{2} dão o ajuste final de \varphi(x).

Resposta

A estratégia de linearização é tomar recíprocos de f(x) e de x, definindo
y_{k} = \frac{1}{f(x_{k})},\quad u_{k} = \frac{1}{x_{k}},
e ajustar por mínimos quadrados o modelo linear
y = \alpha_{1}\,u + \alpha_{2}.

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