1. A população de uma cidade (em milhares de habitantes) t anos após 1^{\circ} janeiro de 1995 é dada pela função \mathrm{P}(\mathrm{t})=\frac{150 \cdot \mathrm{e}^{0,03 \cdot \mathrm{t}}}{1+\mathrm{e}^{0,03 \cdot \mathrm{t}}}, use a 2^{\mathrm{a}} Regra de Simpson composta com \mathrm{n}=6, para determinar qual foi a população média da cidade durante a década de 1995-2005?

Passo 1

O enunciado nos dá a função logística da população (em milhares)
P(t)=\frac{150\,e^{0,03t}}{1+e^{0,03t}},
onde t varia de 0 (1º jan/1995) a 10 (1º jan/2005). Queremos a população média nesse intervalo, ou seja
\bar P=\frac{1}{10-0}\int_{0}^{10}P(t)\,dt.
Como não há antiderivada elementar simples, vamos usar a Regra de Simpson composta de segunda ordem com n=6.

Passo 2

Na Regra de Simpson composta com n subintervalos (aqui n=6, par), o passo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{10-0}{6}=\frac{5}{3}\approx1{,}6667.
A aproximação do integral é
\int_{0}^{10}P(t)\,dt\approx\frac{h}{3}\Bigl[P_0+P_6+4\sum_{i\text{ ímpar}}P_i+2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}P_i\Bigr],í
onde P_i=P(t_i) e t_i=i\,h.

Passo 3

Calculamos os nós t_i e P_i:
t_0=0, t_1=1{,}6667, t_2=3{,}3333, t_3=5, t_4=6{,}6667, t_5=8{,}3333, t_6=10.
As exponenciais são e^{0{,}03t_i}=e^{0},e^{0{,}05},e^{0{,}10},e^{0{,}15},e^{0{,}20},e^{0{,}25},e^{0{,}30} aproximadas por
1{,}0000,\;1{,}0513,\;1{,}1052,\;1{,}1618,\;1{,}2214,\;1{,}2840,\;1{,}3499.
Dai
P_i=\frac{150\,e^{0{,}03t_i}}{1+e^{0{,}03t_i}}\approx \{75{,}00,\;76{,}89,\;78{,}72,\;80{,}61,\;82{,}47,\;84{,}30,\;86{,}22\}.

Passo 4

Agora somamos segundo Simpson:
P_0+P_6=75{,}00+86{,}22=161{,}22,\quad \sum_{i\text{ ímpar}}P_i=76{,}89+80{,}61+84{,}30=241{,}80,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}P_i=78{,}72+82{,}47=161{,}19.
Logo
\int_{0}^{10}P(t)\,dt\approx\frac{h}{3}\Bigl[161{,}22+4\cdot241{,}80+2\cdot161{,}19\Bigr] =\frac{5/3}{3}\times1450{,}80 =\frac{5}{9}\times1450{,}80\approx806{,}0.

Passo 5

Por fim, a população média é
\bar P=\frac{1}{10}\int_{0}^{10}P(t)\,dt\approx\frac{806{,}0}{10}=80{,}6
em milhares de habitantes.

Resposta

A população média no período de 1995 a 2005 foi aproximadamente 80{,}6 mil habitantes.

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