( 1,0 pt) A partir da expansão em série de Taylor até segunda ordem da função continua f(x) em tomo de x=x0, mostre que podemos obter as seguintes fórmulas de diferenças finitas para f^prime(x0) usando três pontos:
  • Progressiva: f^prime(x0) approx -3 f(x0)+4 f(x0+h)-f(x0+2 h)2 h
  • Regressiva: f^prime(x0) approx f(x0-2 h)-4 f(x0-h)+3 f(x0)2 h
Em seguida, use essas fórmulas para aproximar a derivada f^prime(1,5) se f for a função f(x)=x e^x. Dica: Após a expansão em série, aproxime a derivada segunda por diferenças finitas progressivas e regressiva de acordo com a necessidade de cada caso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. mostrar, a partir da expansão em série de Taylor até segunda ordem de f em torno de x=x0, que as combinações lineares
-3,f(x0) + 4,f(x0+h) - f(x0+2h)2h e f(x0-2h) - 4,f(x0-h) + 3,f(x0)2h
aproximam f'(x0);
2) usar essas fórmulas para aproximar f'(1,5) em que f(x)=x,e^x.
O conteúdo-chave é a série de Taylor truncada em O(h^3).

Passo 2

Para a fórmula progressiva, escrevemos as expansões em torno de x0:
f(x0+h)=f(x0)+h,f'(x0)+h^22,f''(x0)+O(h^3),
f(x0+2h)=f(x0)+2h,f'(x0)+2h^2,f''(x0)+O(h^3)
Agora formamos
-3,f(x0)+4,f(x0+h)-f(x0+2h)
e substituímos as expansões:
-3f0 +4l(f0+h f'0+tfrach^22f''0r) -l(f0+2h f'0+2h^2f''0r) =2h,f'(x0)+O(h^3)
Dividindo por 2h obtemos
f'(x0)approx-3,f(x0)+4,f(x0+h)-f(x0+2h)2h

Passo 3

Analogamente, para a fórmula regressiva expandimos em torno de x0:
f(x0-h)=f(x0)-h,f'(x0)+tfrach^22f''(x0)+O(h^3),
f(x0-2h)=f(x0)-2h,f'(x0)+2h^2f''(x0)+O(h^3)
Formando
f(x0-2h)-4,f(x0-h)+3,f(x0)
e substituindo, dá novamente 2h,f'(x0)+O(h^3). Logo
f'(x0)approxf(x0-2h)-4,f(x0-h)+3,f(x0)2h

Passo 4

Agora escolhemos x0=1,5, f(x)=x e^x e h=0,1. Calculamos
f(1,5)=1,5,e^1,5, f(1,6)=1,6,e^1,6, f(1,7)=1,7,e^1,7,
f(1,4)=1,4,e^1,4, f(1,3)=1,3,e^1,3
Numericamente, usando e^1,5approx4,4817, e^1,6approx4,9530, e^1,7approx5,4739, e^1,4approx4,0552, e^1,3approx3,6693, obtemos
f(1,5)approx6,7226,; f(1,6)approx7,9248,; f(1,7)approx9,3056,
f(1,4)approx5,6773,; f(1,3)approx4,7701
Aplicando a fórmula progressiva:
f'(1,5)approx-3cdot6,7226+4cdot7,9248-9,30562cdot0,1 approx11,13
E com a regressiva:
f'(1,5)approx4,7701-4cdot5,6773+3cdot6,72262cdot0,1 approx11,14

Resposta

Para f(x)=x e^x em x=1,5 e h=0,1:
  • diferença progressiva f'(1,5)approx11,13,
  • diferença regressiva f'(1,5)approx11,14.

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