( 1,0 pt) A partir da expansão em série de Taylor até segunda ordem da função continua
em tomo de
, mostre que podemos obter as seguintes fórmulas de diferenças finitas para
usando três pontos:
- Progressiva:
- Regressiva:
Em seguida, use essas fórmulas para aproximar a derivada
se
for a função
. Dica: Após a expansão em série, aproxime a derivada segunda por diferenças finitas progressivas e regressiva de acordo com a necessidade de cada caso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- mostrar, a partir da expansão em série de Taylor até segunda ordem de
em torno de , que as combinações lineares
aproximam
;
2) usar essas fórmulas para aproximar em que
.
O conteúdo-chave é a série de Taylor truncada em .
2) usar essas fórmulas para aproximar
O conteúdo-chave é a série de Taylor truncada em
Passo 2
Para a fórmula progressiva, escrevemos as expansões em torno de
:
Agora formamos
e substituímos as expansões:
Dividindo por
obtemos
Passo 3
Analogamente, para a fórmula regressiva expandimos em torno de
:
Formando
e substituindo, dá novamente
. Logo
Passo 4
Agora escolhemos
,
e
. Calculamos
Numericamente, usando
,
,
,
,
, obtemos
Aplicando a fórmula progressiva:
E com a regressiva:
Resposta
Para
em
e
:
- diferença progressiva
, - diferença regressiva
.