Usando o Método dos Mínimos Quadrados determinar g(x)=a1 x+a2 que melhor se ajusta aos dados da tabela abaixo:
c|ccccccc $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 hline$f(x)$ & -4.99 & -3.01 & -1.02 & 0.99 & 3.00 & 4.99 & 7.00 -2 -1 0 1 2 3 4
-4.99 -3.01 -1.02 0.99 3.00 4.99 7.00
Calcule .

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta g(x)=a1x+a2 aos pontos fornecidos usando o método dos mínimos quadrados e, em seguida, calcular a soma dos quadrados dos resíduos sumi=1^7e(xi)^2. Vamos usar fórmulas clássicas de regressão linear para isso.

Passo 2

Calcular as somas necessárias: n = 7 (número de pontos),
Sx=sum xi=-2-1+0+1+2+3+4=7,
Sy=sum f(xi)=-4.99-3.01-1.02+0.99+3.00+4.99+7.00=6.96,
Sxx=sum xi^2=4+1+0+1+4+9+16=35,
Sxy=sum xi f(xi)=(-2)(-4.99)+(-1)(-3.01)+cdots+4cdot7.00=62.95

Passo 3

A partir da teoria de mínimos quadrados, as fórmulas para os coeficientes são:
a1=nSxy-SxSynSxx-Sx^2, a2=Sy - a1Sxn

Passo 4

Substituindo os valores calculados:
a1=7cdot62.95 - 7cdot6.967cdot35 - 7^2 = 391.93196approx1.99966,
a2=6.96 - 1.99966cdot77approx-1.00538

Passo 5

Agora, para cada ponto, computamos o resíduo ei=f(xi)-g(xi) e somamos seus quadrados. O cálculo numérico dá
sumi=1^7 e(xi)^2approx0.000568

Resposta

sumi=1^7 e(xi)^2approx5.68times10^-4

Exercícios relacionados